Các ký hiệu ‘<‘ và ‘>’ đại diện cho các bất bình đẳng chặt chẽ và các ký hiệu ‘≤’ và ‘≥’ biểu thị các bất bình đẳng chùng. Các ví dụ như mx + n> 0, mx + n <0, mx + n ≤ 0 và mx + n ≥ 0 là các bất đẳng thức tuyến tính trong một biến. Bây giờ, chúng ta hãy tìm hiểu cách xác định chúng trong một dòng số.
Contents
Giải pháp đại số của bất đẳng thức tuyến tính trong một biến
Chúng ta biết các dạng bất đẳng thức tuyến tính khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu cách giải các bất phương trình.
Ví dụ: Xét bất đẳng thức tuyến tính cho dưới đây;
3x <6, trong đó x là số nguyên
LHS của bất đẳng thức là 3x và RHS của bất đẳng thức là 6
Khi x = 0,
LHS = 3 × 0 = 0, RHS = 6
Vì 0 nhỏ hơn 6 nên x = 0 thỏa mãn bất đẳng thức.
Khi x = 1,
LHS = 3 × 1 = 3, RHS = 6
Vì 3 nhỏ hơn 6 nên x = 1 thỏa mãn bất đẳng thức.
Khi x = 2,
LHS = 3 × 2 = 6, RHS = 6
Vì 6 không nhỏ hơn 6 nên x = 2 sẽ không thỏa mãn bất đẳng thức.
Điều này được hiểu rằng x phải nhỏ hơn 2 để thỏa mãn bất đẳng thức.
“Giá trị của biến làm cho câu lệnh đúng được gọi là nghiệm của bất phương trình”.
Do đó, các nghiệm của bất phương trình trên là 0 và 1 và {0, 1} được gọi là tập nghiệm.
Trong ví dụ trên, chúng ta có các giải pháp theo phương pháp thử và sai không phải lúc nào cũng hiệu quả. Sẽ tốn nhiều thời gian khi số lượng lớn và có nhiều điều kiện. Có hai quy tắc cần tuân theo khi giải bất phương trình. Điều đó sẽ được giải thích với ví dụ sau.
Quy tắc cho bất bình đẳng tuyến tính
Quy tắc 1: Các số bằng nhau có thể được cộng hoặc trừ ở cả hai vế của bất đẳng thức mà không làm thay đổi dấu của bất đẳng thức.
Quy tắc 2: Cùng một số dương có thể nhân hoặc chia cho cả hai vế của bất đẳng thức. Dấu của bất đẳng thức bị đảo ngược nếu nhân hoặc chia cả hai vế cho một số âm.
Ví dụ về các giải pháp đại số của bất đẳng thức tuyến tính
Hãy để chúng tôi giải quyết một số ví dụ về bất đẳng thức tuyến tính trong một biến
Ví dụ 1: 3 – 2x <1, tìm x nếu x là số nguyên nhỏ hơn 6.
3 – 2x <1
Trừ 3 cho cả hai bên,
3 – 3 – 2x <1 – 3
-2x <-2
Chia cả hai vế của bất đẳng thức cho -2,
(Lưu ý rằng -2 là một số âm, một dấu của bất đẳng thức phải được đảo ngược)
-2x / -2> -2 / -2
x> 1
Vì x là số nguyên nhỏ hơn 6 nên tập nghiệm của x là {2, 3, 4, 5}
Hãy lấy một ví dụ khác và biểu diễn nghiệm của bất phương trình trên một trục số.
Biểu diễn bất bình đẳng tuyến tính trên trục số
Hãy để chúng tôi giải một số ví dụ về bất đẳng thức tuyến tính trong một biến để hiển thị trên một trục số.
Ví dụ 2: Giải 2x + 3 ≤ 9, biểu diễn ‘x’ trên một trục số nếu x dương.
2x + 3 ≤ 9
Trừ 3 cho cả hai bên,
2x + 3 – 3 ≤ 9 – 3
2x ≤ 6
Chia cả hai bên cho 2,
2x / 2 ≤ 6/2
x ≤ 3
Người ta cho rằng x là số dương.
Do đó x lớn hơn 0 và nhỏ hơn hoặc bằng 3. tức là x ∈ (0, 3]
Ví dụ 3: Giải 6x + 2 <4x + 8. Biểu diễn đồ thị của các nghiệm trên một trục số.
Lời giải: 6x + 2 <4x + 8.
2x <6
x <3
Biểu diễn đồ họa sẽ là:
Bất bình đẳng tuyến tính trong các vấn đề từ một biến
Ví dụ 4: Điểm của một học sinh lớp 10 trong bài kiểm tra cuối kỳ đầu tiên và thứ hai lần lượt là 60 và 45. Tìm số điểm tối thiểu mà anh ta phải đạt được trong kỳ kiểm tra hàng năm để có trung bình ít nhất 62 điểm.
Lời giải: Gọi x là điểm của học sinh đó đạt được trong kỳ kiểm tra hàng năm. Sau đó;
(60 + 45 + x) / 3 ≥ 62
hoặc 105 + x ≥ 196
hoặc x ≥ 93
Như vậy, học sinh phải đạt tối thiểu 93 điểm để đạt trung bình ít nhất 62 điểm trong kỳ thi hàng năm.
Ví dụ 5: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên lẻ liên tiếp có số lớn hơn 10 sao cho tổng của chúng nhỏ hơn 40.
Giải: Gọi x là số nhỏ hơn trong hai số tự nhiên lẻ liên tiếp sao cho số kia là x +2. Sau đó, chúng ta nên có:
x> 10 …………. (1)
và
x + (x + 2) <40 ……… .. (2)
Khi giải phương trình trên, chúng ta nhận được;
2x + 2 <40
x + 1 <20
x <19 …………. (3)
Từ eq.1 và 3, chúng ta nhận được:
10 <x <19
Vì x là số lẻ nên x có thể nhận các giá trị 11, 13, 15 và 17.
Vì vậy, các cặp bắt buộc có thể sẽ là (11, 13), (13, 15), (15, 17), (17, 19)
