Trước khi tiếp tục với biểu diễn đồ họa, chúng ta hãy xem các công thức cho các hàm này.
Công thức hàm lượng giác ngược
| Chức năng | Miền | Phạm vi của một hàm nghịch đảo |
| sin -1 x (arcsinex) | -1≤ x ≤1 | -π / 2≤y≤π / 2 |
| cos -1 x (arcosinex) | -1≤ x ≤1 | 0≤y ≤π |
| tan -1 x (arctangentx) | – ∞ <x <∞ | -π / 2 <y <π / 2 |
| cot -1 x (arcotangentx) | – ∞ <x <∞ | 0 <y <π |
| giây -1 x (arcsecantx) | – ∞ ≤ x ≤-1 hoặc 1≤x≤ ∞ | 0≤y≤π, y ≠ π / 2 |
| cosec -1 x (arccosecantx) | – ∞ ≤ x ≤-1 hoặc 1≤x≤ ∞ | -π / 2≤y≤π / 2, y ≠ 0 |
Xem xét miền và phạm vi của các hàm nghịch đảo , cần lưu ý các công thức sau:
- sin ( sin -1 x ) = x, nếu -1 ≤ x ≤ 1 và sin -1 (sin y) = y nếu -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
- cos (cos -1 x ) = x, nếu -1 ≤ x ≤ 1 và cos -1 (cos y) = y nếu 0 ≤ y ≤ π.
- tan (tan -1 x ) = x, nếu -∞ <x <∞ và cos -1 (cos y) = y nếu -π / 2 ≤ y ≤ π / 2.
- cot ( c o t -1 x ) = x, nếu -∞ <x <∞ và c o t -1 ( c o t y ) = y nếu 0 <y <π.
- giây ( s e c -1 x ) = x, nếu -∞ ≤ x ≤ -1 hoặc 1 ≤ x ≤ ∞ và s e c -1 ( s e c y ) = y nếu -0 ≤ y ≤ π, y ≠ π / 2.
- cosec ( c o s e c -1 x ) = x, nếu -∞ ≤ x ≤- 1 hoặc 1 ≤ x ≤ ∞ và c o s e c -1 ( c o s e c y ) = y nếu -π / 2 ≤ y ≤ π / 2, y ≠ 0.
LƯU Ý: Các hàm lượng giác nghịch đảo còn được gọi là “Hàm Arc”, vì đối với một giá trị nhất định của một hàm lượng giác, chúng tạo ra độ dài cung cần thiết để đạt được giá trị cụ thể đó.
Đồ thị của các hàm lượng giác nghịch đảo
Đồ thị của tất cả các hàm lượng giác nghịch đảo được cho như sau.
Đồ thị của hàm arcsine
Hàm arcsine là nghịch biến của hàm sin được ký hiệu là sin -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Đồ thị của hàm arccosine
Hàm arccosine là nghịch biến của hàm cos được ký hiệu là cos -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Đồ thị của hàm arctangent
Hàm Arctang là nghịch biến của hàm tiếp tuyến được ký hiệu là tan -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Đồ thị của hàm arccotang
Hàm Arccotang là nghịch biến của hàm cotang được ký hiệu là cot -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Đồ thị của hàm arcsecant
Hàm arcsecant là nghịch đảo của hàm secant được ký hiệu là sec -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Đồ thị của hàm arccosecant
Hàm Arccosecant là nghịch đảo của hàm cosecant được ký hiệu là cosec -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Biểu diễn vòng tròn của các hàm lượng giác nghịch đảo
Để giải quyết hầu hết các vấn đề trong Hàm số lượng giác nghịch đảo, sẽ rất hữu ích khi hiểu khái niệm biểu diễn đường tròn của các hàm số lượng giác.
Hãy xem một ví dụ về arcsinθ và arccosθ.
- Ở đây hệ quy chiếu là quan trọng. Về phía trước, chúng ta sẽ giả định chiều kim đồng hồ là dương và hướng ngược chiều kim đồng hồ là âm.
Đối chiếu với hình 7 và hình 8, điểm D là π / 2 và E là -π / 2. Điểm B là 0 và điểm C là π. - Do đó đối với hình 7, (sin -1 θ) = θ và sin -1 (-θ) = -sin -1 (θ) , được lấy theo hướng ngược chiều kim đồng hồ. Đường củaarcsinθ là π / 2 ≤ θ ≤ π / 2 và được lấy từ OE thành OD theo hướng tròn ngược chiều kim đồng hồ.
Xét hàm ngược cos -1 ( -θ ) = π– θ
(Phạm vi của hàm cosin là 0 ≤ θ≤ π)
(-) θ được lấy theo chiều kim đồng hồ được biểu thị là OF.
Một khoảng của hàm cosin là 0 ≤ θ ≤ π; từ hình 8 – các góc đối diện nhau bằng nhau đó là Góc COG = Góc FOB.
Quãng đường cần thiết đi theo chiều ngược chiều kim đồng hồ để đạt được từ OB đến OG là π – θ. Do đó, cos-1 (-θ) = π – θ.
Các ứng dụng của đồ thị hàm lượng giác ngược
Xét, y = sin -1 x + cos -1 x
y = sin -1 x + cos -1 x; x ∈ [−1,1]
y = π / 2
Do đó, biểu diễn đồ thị của y = sin -1 x + cos -1 x là y = π / 2 với x∈ [−1,1] được đưa ra dưới đây:
Tương tự, y = tan -1 x + cot -1 x
tan -1 x + cot -1 x = tan -1 x + cot -1 x = π / 2
Do đó, biểu diễn đồ thị của y = tan -1 x + cot -1 x là,
Với sự trợ giúp của các hàm lượng giác nghịch đảo được biểu diễn bằng đồ thị, chúng tôi thấy rằng việc học chủ đề trở nên dễ dàng hơn và dễ khám phá hơn.
Xem thêm:
