Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Cách tìm tâm đường tròn ngoại tiếp đơn giản

THÔNG TIN CHI TIẾT VỀ TUYỂN SINH TRƯỜNG CHUẨN VÀ CHÍNH XÁC NHẤT CÁC BẠN CHỈ CẦN XEM PHẦN BÊN DƯỚI ĐÂY CÓ GÌ THẮC MẮC CÁC BẠN HÃY BÌNH LUẬN

Trong môn Toán 9, người học cần nắm được ĐT, đặc biệt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Từ sự quan trọng của lý thuyết này, Tuvantuyensinh hiểu được điều đó nên đã tổng hợp những kiến ​​thức bổ ích cho người học. ĐT ngoại tiếp TG là gì? Công thức tính bán kính, tìm được tâm ĐT ngoại tiếp … sẽ có trong bài viết dưới đây

1. Khái niệm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

– ĐT ngoại tiếp TG là một ĐT được vẽ mà nó đi qua 3 đỉnh của TG đã cho sẵn. Nói cách khác, TG nằm trong ĐT hay nội tiếp ĐT

– Ví dụ về ĐT ngoại tiếp TG:

Đường phân giác trung trực của đoạn thẳng EG là đường thẳng đi qua trung điểm M của EG, vuông góc với EG. Mọi điểm I trên đoạn thẳng EG đều có IE = IG.

Ba đường phân giác vuông góc đồng quy tại một điểm. Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực của TG ABC thì ta có IA = IB = IC, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. ĐT ngoại tiếp TG là ĐT đi qua 3 đỉnh của TG đã cho.

– Cách vẽ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Khái niệm và tính chất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

2. Giao điểm của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác của ba cạnh vuông góc (có thể là giao điểm của hai đường phân giác vuông góc).

– Cách xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác:

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

+ Phương án 1:

Bước 1: Viết PT các đường trung trực của một TG bất kỳ.

Bước 2: Tìm giao điểm của hai đường phân giác vuông góc với nhau là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

+ Cách 2:

Bước 1: Gọi I (x, y) là tâm ĐT ngoại tiếp TG ABC. Ta có YA = YB = YC bằng R.

Bước 2: Tìm tọa độ tâm ĐT ngoại tiếp TG:

Tọa độ tâm I là nghiệm của PT cần tìm:

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác cân ABC tại A nằm trên đường cao AH.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trọng tâm của TG.

3. Bán kính ĐT ngoại tiếp TG

Ngoài các công thức liên quan đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, các em cần biết thêm công thức tính bán kính ĐT ngoại tiếp TG.

Bán kính ĐT ngoại tiếp TG

Bán kính ĐT ngoại tiếp TG

Cho TG ABC. Các cạnh BC, AC, AB có thứ tự được đặt là a, b, c.

– Công thức tính bán kính ĐT ngoại tiếp TG:

+ Công thức tính diện tích TG (áp dụng công thức heng):

+ Nửa chu vi hình TG:

+ Công thức tính bán kính ĐT nội tiếp TG:

– Công thức tính bán kính ĐT ngoại tiếp góc A:

– Công thức tính bán kính ĐT ngoại tiếp góc B:

– Công thức tính bán kính ĐT ngoại tiếp góc C:

– Công thức tính bán kính ĐT ngoại tiếp TG đều:

3. Bài tập tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Cách tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Tìm tọa độ tâm DT ngoại tiếp TG trong các trường hợp sau:

Tại mp Oxy cho TG DEF với A ( 5 ; 7 ) ; B ( 2 ; 9 ) ; C ( – 2 ; – 1 )

Tại mp Oxy cho 3 điểm với A ( – 5 ; – 7 ) ; B ( 5 ; – 9 ) ; C ( 2 ; 1 )

Cho DT (O) đi qua ba điểm A ; B và C. Lập PT ĐT đi qua 3 điểm:

+ Bước 1: Gọi phương trình của đường tròn là (C): x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (*)

(với ĐK a2 + b2 – c > 0).

+ Bước 2: Ta có điểm A; B và C được nằm trên một ĐT nên khi bỏ số liệu c tọa độ điểm A; B, C vào (*) ta được phương trình ba ẩn a; b; c.

+ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình của đường tròn.

  1. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tâm đường tròn qua ba điểm A (2; 1); B (2; 5) và C (-2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

  1.     x – y + 2 = 3.
  2.     x + y – 3 = 0
  3.     x – y – 3 = 0
  4.     x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải pháp

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2by + c – 2ax = 0 (a2 + b2 – c> 0)

Viết PT ĐT tròn được đi qua 3 điểm (ĐT ngoại tiếp TG) I (0; 3)

Vậy tâm của đường tròn là I (0; 3).

Lần lượt thay tọa độ I cho các phương trình tuyến tính, chỉ có đường thẳng

x – y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn Phương án A.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A (0; 4); B (2; 4) và C (4; 0)

  1. (0; 0) B. (1; 0) C. (3; 2) D. (1; 1)

Hướng dẫn giải pháp

Phương trình đường tròn (C) có dạng:

x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (a2 + b2 –c> 0)

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác) | Tuyển chọn các bài giải bài tập Toán lớp 10 có đáp án

Vì vậy, tâm tôi (1; 1)

Chọn D.

Đường tròn của một tam giác và công thức của nó

Trung tâm của một Tam giác là gì?

Đường tròn của một tam giác được định nghĩa là điểm mà các đường phân giác trung trực của các cạnh của tam giác cụ thể đó cắt nhau. Nói cách khác, điểm đồng quy của đường phân giác các cạnh của một tam giác được gọi là đường tròn ngoại tiếp. Nó được ký hiệu là P (X, Y). Đường tròn ngoại tiếp cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó và nó có thể nằm trong hoặc ngoài tam giác.

Trung tâm của một tam giác

Công thức Circumcenter

P (X, Y) = [(x 1 sin 2A + x 2 sin 2B + x 3 sin 2C) / (sin 2A + sin 2B + sin 2C), (y 1 sin 2A + y 2 sin 2B + y 3 sin 2C) / (sin 2A + sin 2B + sin 2C)]

Đây,

  • A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) và C (x 3 , y 3 ) là các đỉnh của tam giác và A, B, C là các góc tương ứng của chúng.

Phương pháp tính đường tròn tâm của tam giác

Các bước để tìm đường tròn ngoại tiếp tam giác là:

  • Tính trung điểm của các tọa độ đã cho, tức là trung điểm của AB, AC và BC
  • Tính độ dốc của một đường cụ thể
  • Bằng cách sử dụng trung điểm và hệ số góc, hãy tìm phương trình của đường thẳng (yy 1 ) = m (xx 1 )
  • Tìm ra phương trình của đường thẳng kia theo cách tương tự
  • Giải phương trình hai đường phân giác bằng cách tìm giao điểm
  • Giao điểm được tính toán sẽ là đường tròn của tam giác đã cho

Tìm đường tròn bằng phương trình tuyến tính

Đường tròn cũng có thể được tính bằng cách lập phương trình tuyến tính sử dụng công thức khoảng cách. Chúng ta hãy lấy (X, Y) là tọa độ của đường tròn ngoại tiếp. Theo tính chất của đường tròn, khoảng cách của (X, Y) từ mỗi đỉnh của một tam giác sẽ như nhau.

Giả sử rằng D1 là khoảng cách giữa đỉnh (x 1 , y 1 ) và đường tròn (X, Y), sau đó công thức được cho bởi,

1 = √ [(X − x 1 ) 2 + (Y − y 1 ) 2 ]

2 = √ [(X − x 2 ) 2 + (Y − y 2 ) 2 ]

3 = √ [(X − x 3 ) 2 + (Y − y 3 ) 2 ]

Tìm hiểu thêm: Khoảng cách giữa hai điểm

Bây giờ, vì D 1 = D 2 và D 2 = D 3 , chúng ta nhận được

(X − x 1 ) 2 + (Y − y 1 ) 2 = (X − x 2 ) 2 + (Y − y 2 ) 2

Từ đó thu được hai phương trình tuyến tính. Bằng cách giải các phương trình tuyến tính bằng phương pháp thay thế hoặc loại bỏ, tọa độ của đường tròn có thể thu được.

Thuộc tính của Circumcenter

Một số tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác như sau:

  • Đường tròn ngoại tiếp là tâm của đường tròn ngoại tiếp
  • Tất cả các đỉnh của một tam giác đều cách đều với đường tròn ngoại tiếp
  • Trong một tam giác có góc nhọn, đường tròn nằm bên trong tam giác
  • Trong một tam giác có góc tù, nó nằm bên ngoài của tam giác
  • Đường tròn nằm ở trung điểm cạnh huyền của tam giác vuông

Làm thế nào để xây dựng hình tròn của một tam giác?

Đường tròn ngoại tiếp của bất kỳ tam giác nào có thể được xây dựng bằng cách vẽ đường phân giác vuông góc của hai cạnh bất kỳ của tam giác đó. Các bước để tạo đường tròn ngoại tiếp là:

  • Bước 1: Vẽ đường phân giác vuông góc của hai cạnh bất kỳ của tam giác đã cho.
  • Bước 2: Dùng thước kẻ, kéo dài các đường phân giác vuông góc cho đến khi chúng cắt nhau.
  • Bước 3: Đánh dấu giao điểm là P sẽ là đường tròn ngoại tiếp tam giác. Cần lưu ý rằng, ngay cả đường phân giác của cạnh thứ ba cũng sẽ cắt nhau tại P.

Tìm hiểu thêm:

  • Xây dựng hình tam giác
  • Xây dựng tam giác với chu vi và hai góc của nó

Câu hỏi Ví dụ Sử dụng Công thức Vòng tròn

Câu hỏi: Tìm tọa độ đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với các đỉnh A = (3, 2), B = (1, 4) và C = (5, 4)?

Giải pháp:

  • Phương pháp 1:

Gọi, (x, y) là tọa độ của đường tròn.

1 là khoảng cách từ đường tròn ngoại tiếp đến đỉnh A

2 là khoảng cách từ đường tròn ngoại tiếp đến đỉnh B

3 là khoảng cách từ đường tròn ngoại tiếp đến đỉnh C

Cho: (x 1 , y 1 ) = (3, 2); (x 2 , y 2 ) = (1, 4) và (x 3 , y 3 ) = (5, 4)

Sử dụng công thức khoảng cách, chúng tôi nhận được

1 = √ [(X − x 1 ) 2 + (Y − y 1 ) 2 ]

2 = √ [(X − x 2 ) 2 + (Y − y 2 ) 2 ]

3 = √ [(X − x 3 ) 2 + (Y − y 3 ) 2 ]

Vì D 1 = D 2 = D 3 .

1 = D 2 cho,

(x – 3)  + (y – 2)  = (x – 1)  + (y – 4) 2

⇒ x  – 6x + 9 + y  + 4 – 4y = x  + 1 – 2x + y  – 8y + 16

⇒ -6x – 4y + 13 = -2x – 8y + 17

⇒ -4x + 4y = 4

⇒ -x + y = 1 ———– (1)

1 = D 3 cho,

(x – 3) 2 + (y – 2)  = (x – 5)  + (y – 4) 2

⇒ x  – 6x + 9 + y  + 4 – 4y = x  + y  – 10x – 8y + 25 + 16

⇒ -6x – 4y + 13 = -10x – 8y + 41

⇒ 4x + 4y = 28

Hoặc, x + y = 7 ————– (2)

Bằng cách giải phương trình (1) và (2), chúng ta nhận được

2y = 8

Hoặc, y = 4

Bây giờ, thay y = 4 vào phương trình (1),

⇒ -x + 4 = 1

⇒ -x = 1 – 4

⇒ -x = -3

Hoặc, x = 3

Do đó, đường tròn ngoại tiếp tam giác là (x, y) = (3, 4)

  • Phương pháp 2:

Các điểm đã cho là,

A = (3, 2),

B = (1, 4),

C = (5, 4)

Để tìm đường tròn, chúng ta phải giải phương trình hai đường phân giác bất kỳ và tìm giao điểm.

Vậy, trung điểm của AB = [(3 + 1) / 2, (2 + 4) / 2] = (2, 3)

Hệ số góc của AB = [(4−2) / (1−3)] = -1

Hệ số góc của đường phân giác là nghịch đảo âm của hệ số góc đã cho.

Vì vậy, hệ số góc của đường phân giác = 1

Phương trình của AB có hệ số góc 1 và tọa độ (2, 3) là,

(y – 3) = 1 (x – 2)

x – y = -1 ……………… (1)

Tương tự, đối với AC

Điểm giữa của AC = [(3 + 5) / 2, (2 + 4) / 2] = (4, 3)

Độ dốc của AC = [(4−2) / (5−3)] = 1

Hệ số góc của đường phân giác là nghịch đảo âm của hệ số góc đã cho.

Vì vậy, hệ số góc của đường trung trực = -1

Phương trình của AC có hệ số góc -1 và tọa độ (4, 3) là,

(y – 3) = -1 (x – 4)

y – 3 = -x + 4

x + y = 7 ……………… (2)

Bằng cách giải phương trình (1) và (2),

(1) + (2) ⇒ 2x = 6;

Hoặc, x = 3

Thay giá trị của x thành (1)

3 – y = -1

y = 3 + 1 = 4

Như vậy, đường tròn ngoại tiếp là (3, 4).

 

Các câu hỏi thường gặp

Circumcenter là gì?

Đường tròn là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh của một tam giác. Nó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Làm thế nào để tìm ra trung tâm của một tam giác?

Để tìm đường tròn ngoại tiếp của bất kỳ tam giác nào, hãy vẽ các đường phân giác vuông góc của các cạnh và kéo dài chúng. Điểm mà các đường vuông góc cắt nhau sẽ là đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.

Có phải mọi tam giác đều có trung tâm không?

Đúng, mọi tam giác đều có một đường tròn. Đường tròn có thể nằm bên trong tam giác hoặc bên ngoài.

Đường tròn của Tam giác góc Obtuse và Tam giác vuông ở đâu?

Đường tròn ngoại tiếp tam giác tù nằm ngoài tam giác. Đối với một tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/06/Modern-Corporate-Business-Facebook-Cover-1.png
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x