Cấp số nhân là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Như đã thảo luận trong phần giới thiệu, một tiến trình hình học hoặc một chuỗi hình học là một tiến trình hình học, trong đó mỗi số hạng được thay đổi bởi một số hạng khác theo một tỷ lệ chung. Số hạng tiếp theo của dãy được tạo ra khi chúng ta nhân một hằng số (khác 0) với số hạng trước đó. Nó được đại diện bởi:

a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ , v.v.

Trong đó a là số hạng đầu tiên và r là tỉ số chung.

Lưu ý: Cần lưu ý rằng khi chúng ta chia bất kỳ số hạng kế tiếp nào cho số hạng trước của nó, thì chúng ta nhận được giá trị bằng tỷ lệ chung.

Giả sử chúng ta chia số hạng thứ 3 cho số hạng thứ 2, chúng ta được:

ar ² / ar = r

Theo cách tương tự:

ar ³ / ar ² = r

ar ⁴ / ar ³ = r

Dạng tổng quát của Tiến trình Hình học là:

a, ar, ar ² , ar ³ , ar ⁴ ,…, a ⁿ

Ở đâu,

a = Kỳ đầu tiên

r = tỷ lệ chung

a ⁿ = số hạng thứ n

Điều khoản chung hoặc Điều khoản thứ N của GP

Gọi a là số hạng đầu tiên và r là tỷ số chung của GP

Khi đó số hạng thứ hai, a ₂ = a × r = ar

Số hạng thứ ba, a ₃ = a ₂ × r = ar × r = ar ²

Tương tự, số hạng thứ n, a _n = ar ^n-1

Do đó, công thức để tìm số hạng thứ n của GP là:

Lưu ý: Học kỳ n là học kỳ cuối cùng của GP.

Tỉ lệ thông thường

Xét dãy a, ar, ar ² , ar ³ , ……

Số hạng đầu tiên = a

Số hạng thứ hai = ar

Số hạng thứ ba = ar ²

Tương tự số hạng thứ n, t _n = ar ^n-1

Do đó, Tỷ lệ chung = (Bất kỳ điều khoản nào) / (Thuật ngữ trước)

= t_n / t_n-1

= (ar ^{n – 1} ) / (ar ^{n – 2} )

= r

Do đó, số hạng tổng quát của GP được cho bởi ar ^n-1 và dạng tổng quát của GP là a + ar + ar ² +… ..

Ví dụ: r = t ₂ / t ₁ = ar / a = r

Tổng N số hạng của GP

Giả sử a, ar, ar ² , ar ³ , …… ar ^n-1 là Cấp số nhân hình học đã cho.

Khi đó tổng n số hạng của GP được cho bởi:

S _n = a + ar + ar ² + ar ³ +… + ar ^n-1

Công thức tính tổng n số hạng của GP là:

Ở đâu

a là số hạng đầu tiên

r là tỷ lệ chung

n là số điều khoản

Ngoài ra, nếu tỷ số chung bằng 1, thì tổng GP được cho bởi:

Tiến trình hình học vô hạn

Các số hạng của một GP hữu hạn có thể được viết dưới dạng a, ar, ar ² , ar ³ , …… ar ^n-1

a, ar, ar ² , ar ³ , …… ar ^n-1 được gọi là dãy hình học hữu hạn.

Tổng của chuỗi hình học hữu hạn được cho bởi:

Các thuật ngữ của GP vô hạn có thể được viết dưới dạng a, ar, ar ² , ar ³ , …… ar ^n-1 , …….

a, ar, ar ² , ar ³ , …… ar ^n-1 , ……. được gọi là chuỗi hình học vô hạn .

Tổng của chuỗi hình học vô hạn được cho bởi:

∑∞k = 0( ark) =a (11 – r)

Công thức tiến trình hình học

Danh sách các công thức liên quan đến GP được đưa ra dưới đây sẽ giúp bạn giải các dạng bài toán khác nhau.

• Dạng điều kiện chung của GP là a, ar, ar ² , ar ³ , v.v. Ở đây, a là số hạng đầu tiên và r là tỷ số chung.
• Số hạng thứ n của GP là T _n = ar ^n-1
• Tỷ lệ chung = r = T _n / T _n-1
• Công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên của một GP được cho bởi: S _n  = a [(r ⁿ -1) / (r-1)] nếu r ≠ 1 và r> 1 S _n  = a [(1 – r ⁿ ) / (1 – r)] nếu r ≠ 1 và r <1
• Số hạng thứ n kể từ cuối GP với số hạng cuối cùng là l và tỉ số chung r = l / [r (n – 1)].
• Tổng của vô hạn, tức là tổng của một GP với các số hạng vô hạn là S _∞ = a / (1 – r) sao cho 0 <r <1.
• Nếu ba đại lượng nằm trong GP, thì đại lượng ở giữa được gọi là giá trị trung bình hình học của hai số hạng còn lại.
• Nếu a, b và c là ba đại lượng trong GP thì và b là trung bình cộng của a và c. Điều này có thể được viết dưới dạng b ²  = ac hoặc b = √ac
• Giả sử a và r lần lượt là số hạng đầu tiên và tỉ số chung của một GP hữu hạn với n số hạng. Do đó, số hạng thứ k tính từ cuối GP sẽ là = ar ^n-k .