Chức năng Beta, xem xong hiểu luôn.

Chức năng Beta

Hàm beta là một loại hàm đặc biệt, còn được gọi là tích phân Euler của loại đầu tiên. Nó thường được biểu diễn dưới dạng B (x, y) trong đó x và y là các số thực lớn hơn 0. Nó cũng là một hàm đối xứng, chẳng hạn như B (x, y) = B (y, x). Trong Toán học, có một thuật ngữ được gọi là các hàm đặc biệt. Một số hàm tồn tại dưới dạng nghiệm của tích phân hoặc phương trình vi phân .

Các chức năng là gì?

Các hàm đóng một vai trò quan trọng trong Toán học. Nó được định nghĩa là một liên kết đặc biệt giữa tập hợp các giá trị đầu vào và đầu ra, trong đó mỗi giá trị đầu vào tương quan với một giá trị đầu ra duy nhất. Chúng ta biết rằng có hai loại hàm tích phân Euler. Một là hàm beta, và một là hàm gamma. Các  tên miền, phạm vi hoặc codomain  các chức năng phụ thuộc vào loại của nó. Trong trang này, chúng ta sẽ thảo luận về định nghĩa, công thức, thuộc tính và ví dụ về các hàm beta.

Thí dụ:

Xét một hàm f (x) = x ² trong đó đầu vào (miền) và đầu ra (đồng miền) đều là số thực. Ngoài ra, tất cả các cặp ở dạng (x, x ² ) đều nằm trên đồ thị của nó.

Giả sử nếu 2 là đầu vào; thì chúng ta sẽ nhận được đầu ra là 4, và nó được viết là f (2) = 4. Nó được cho là có một cặp có thứ tự (2, 4).

Định nghĩa hàm Beta

Hàm beta là một hàm duy nhất mà nó được xếp vào loại tích phân đầu tiên của Euler . Hàm beta được định nghĩa trong các miền của số thực. Kí hiệu đại diện cho hàm beta là ” β” . Hàm beta có nghĩa là B (p, q), trong đó các tham số p và q phải là các số thực.

Hàm beta trong Toán học giải thích mối liên hệ giữa tập hợp các đầu vào và đầu ra. Mỗi giá trị đầu vào mà hàm beta được liên kết chặt chẽ với một giá trị đầu ra. Hàm beta đóng một vai trò quan trọng trong nhiều phép toán.

Công thức hàm Beta

Công thức hàm beta được định nghĩa như sau:

B ( p , q) =∫10tp – 1( 1 – t)q- 1dt

Trong đó p, q> 0

Hàm beta đóng một vai trò quan trọng trong giải tích vì nó có mối liên hệ chặt chẽ với hàm gamma, bản thân hàm này hoạt động như sự tổng quát hóa của hàm giai thừa. Trong giải tích, nhiều hàm tích phân phức tạp được rút gọn thành các tích phân bình thường liên quan đến hàm beta.

Mối quan hệ với hàm Gamma

Hàm beta đã cho có thể được viết dưới dạng hàm gamma như sau:

B ( p , q) =Γ p . Γ qΓ ( p + q)

Trong đó hàm gamma được định nghĩa là:

Γ ( x ) =∫∞0tx – 1e- tdt

Ngoài ra, hàm beta có thể được tính bằng công thức giai thừa:

B ( p , q) =( p – 1 ) ! ( q- 1 ) !( p + q- 1 ) !

Ở đâu, p! = p. (p-1). (p-2)… 3. 2. 1

Cũng thấy:

Thuộc tính hàm Beta

Các thuộc tính quan trọng của hàm beta như sau:

• Hàm này là đối xứng có nghĩa là giá trị của hàm beta không phụ thuộc vào thứ tự của các tham số của nó, tức là B (p, q) = B (q, p)
• B (p, q) = B (p, q + 1) + B (p + 1, q)
• B (p, q + 1) = B (p, q). [q / (p + q)]
• B (p + 1, q) = B (p, q). [p / (p + q)]
• B (p, q). B (p + q, 1-q) = π / p sin (πq)
• Các tích phân quan trọng của các hàm beta là:

• • B ( p , q) =∫∞0tp – 1( 1 + t)p + qdt
  • B ( p , q) = 2∫π/ 20s tôin2 p – 1θ c oS2 q- 1dθ

Chức năng Beta chưa đầy đủ

Dạng tổng quát của hàm beta được gọi là hàm beta không hoàn chỉnh. Nó được đưa ra bởi quan hệ:

B ( z: a , b ) =∫z0ta – 1( 1 – t)b – 1dt

Nó cũng được ký hiệu là B _z (a, b). Chúng ta có thể nhận thấy rằng khi z = 1, hàm beta không hoàn chỉnh sẽ trở thành hàm beta. tức là B (1: a, b) = B (a, b). Hàm beta không hoàn chỉnh có nhiều ứng dụng trong vật lý, giải tích hàm, tính tích phân, v.v.

Ví dụ về hàm Beta

Câu hỏi: Đánh giá: ∫10t4( 1 – t)3dt

Giải pháp:

∫10t4( 1 – t)3dt

Mẫu trên cũng có thể được viết là :

∫10t5 – 1( 1 – t)4 – 1dt

Bây giờ, hãy so sánh biểu mẫu trên với hàm beta tiêu chuẩn: B ( p , q) =∫10tp – 1( 1 – t)q- 1dt

Vì vậy, chúng ta nhận được p = 5 và q = 4

Sử dụng dạng giai thừa của hàm beta: B ( p , q) =( p – 1 ) ! ( q- 1 ) !( p + q- 1 ) !, chúng tôi nhận được

B (p, q) = (4! 3!) / 8!

= (4! 6) / 8! = 1/280

Do đó, giá trị của biểu thức đã cho sử dụng hàm be ta là 1/280

Ứng dụng chức năng beta

Trong Vật lý và phương pháp tiếp cận chuỗi, hàm beta được sử dụng để tính toán và biểu diễn biên độ tán xạ cho quỹ đạo Regge. Ngoài những điều này, bạn sẽ tìm thấy nhiều ứng dụng trong phép tính bằng cách sử dụng hàm gamma liên quan của nó.

Câu hỏi thường gặp về Chức năng Beta – Câu hỏi thường gặp

Công dụng của chức năng beta là gì?

Hàm beta trong Toán học giải thích mối liên hệ giữa tập hợp các đầu vào và đầu ra. Mỗi giá trị đầu vào của hàm beta được liên kết chặt chẽ với một giá trị đầu ra. Hàm beta đóng một vai trò quan trọng trong nhiều phép toán.

Toán học hàm beta là gì?

Hàm beta được định nghĩa trong các miền của số thực. Kí hiệu đại diện cho hàm beta là “β”. Hàm beta được biểu diễn bởi B (p, q), trong đó các tham số p và q phải là các số thực.

Hàm beta và gamma là gì?

Chúng ta biết rằng có hai loại hàm tích phân Euler. Một là hàm beta, và một là hàm gamma. Gamma là một hàm đơn biến, trong khi Beta là một hàm hai biến. Mối quan hệ giữa beta và hàm gamma sẽ giúp giải quyết nhiều vấn đề trong toán học.

Ai đã phát minh ra chức năng beta?

Euler và Legendre lần đầu tiên nghiên cứu chức năng beta và được đặt tên cho nó bởi Jacques Binet.

Alpha Beta trong toán học là gì?

Alpha, beta và gamma là các chữ cái Hy Lạp và thường được sử dụng trong toán học để biểu thị các giá trị của hằng số cho các biểu thức, chẳng hạn như gốc của đa thức.

Bản phân phối beta được sử dụng ở đâu?

Phân phối beta được sử dụng để lập mô hình những thứ có phạm vi giới hạn, chẳng hạn như 0 đến 1. Ví dụ: xác suất thành công trong một thử nghiệm chỉ có hai kết quả: thành công và thất bại.

Xem thêm: 

• Tỷ lệ nghịch là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Biến thể nghịch đảo là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Hàm lượng giác ngược là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn