F (x) được gọi là phản đạo hàm hay nguyên hàm.
f (x) được gọi là tích phân.
dx được gọi là tác nhân tích phân.
C là một hằng số tùy ý được gọi là hằng số tích phân.
x là biến của tích phân .
Các chống dẫn xuất của các hàm cơ bản đã được chúng ta biết đến. Tích phân của các hàm này có thể dễ dàng thu được. Trong phần thảo luận sắp tới, chúng ta hãy thảo luận về một số công thức quan trọng và ứng dụng của chúng trong việc xác định giá trị tích phân của các hàm khác.
Công thức Tích hợp và Chứng minh
1.
Chứng minh: Tích phân có thể được biểu thị như sau:
Nhân tử số và mẫu số với 2a và đơn giản hóa biểu thức thu được ta có;
Do đó, khi tích phân biểu thức thu được với x, chúng ta có;
Theo các tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm bằng tổng tích phân của các hàm đã cho, tức là
Do đó phương trình 1 có thể được viết lại thành:
Tích hợp với x, chúng ta có
Chứng minh: Tích phân có thể được biểu thị như sau:
Nhân tử số và mẫu số với 2a và đơn giản hóa biểu thức thu được ta có;
Do đó, khi tích phân biểu thức thu được với x, chúng ta có;
Theo các tính chất của tích phân, tích phân của tổng hai hàm bằng tổng tích phân của các hàm đã cho, tức là
Do đó phương trình 2 có thể được viết lại thành:
Tích hợp với x, chúng ta có
Chứng minh: Cho x = a tan Ɵ. Phân biệt cả hai vế của phương trình này đối với x ta có;
dx = a giây 2 Ɵ dƟ
Do đó, sử dụng điều này, tích phân có thể được biểu diễn như sau:
Tích hợp với x, chúng ta có
Chứng minh: Cho x = a sec Ɵ. Phân biệt cả hai vế của phương trình này đối với x ta có;
dx = a secƟ tan Ɵ dƟ
Do đó, sử dụng điều này, tích phân có thể được biểu diễn như sau:
Sử dụng đồng dạng lượng giác sec 2 Ɵ– 1 = tan 2 Ɵ, phương trình trên có thể được viết dưới dạng
Tích hợp với x, chúng ta có
Thay giá trị của Ɵ vào phương trình trên ta có;
Ở đây, C = C 1 – log | a |
5.
Chứng minh: Cho x = a tan Ɵ. Phân biệt cả hai vế của phương trình này đối với x ta có;
dx = a giây 2 Ɵ dƟ
Do đó, sử dụng điều này, tích phân có thể được biểu diễn như sau:
Sử dụng đồng dạng lượng giác sec 2 Ɵ = 1 + tan 2 Ɵ, phương trình trên có thể được viết dưới dạng
Tích hợp với x, chúng ta có
Thay giá trị của Ɵ vào phương trình trên ta có;
Ở đây, C = C 1 – log | a |
6. 
Chứng minh: Cho x = a sin Ɵ. Phân biệt cả hai vế của phương trình này đối với x ta có;
dx = a cosƟ dƟ
Do đó, sử dụng điều này, tích phân có thể được biểu diễn như sau:
Sử dụng đồng dạng lượng giác 1 – sin 2 Ɵ = cos 2 Ɵ, phương trình trên có thể được viết dưới dạng
Tích hợp với x, chúng ta có
Thay giá trị của Ɵ vào phương trình trên ta có;
Xem thêm:
