Chuỗi số học – Tổng của n số hạng, xem xong hiểu luôn.

Chuỗi số học – Tổng của n số hạng

Dãy là tập hợp các đầu ra của một hàm được xác định từ tập các số tự nhiên đến tập các số thực hoặc số phức. Nếu miền đồng của hàm là tập các số thực, nó được gọi là dãy thực và ngược lại, nếu nó là tập các số phức, nó được gọi là dãy phức. Ví dụ 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 ……… .625 đại diện cho một dãy các số tự nhiên bình phương cho đến 25.

Nói một cách đơn giản, dãy số là một tập hợp các số có thứ tự. Một chuỗi được biểu thị bằng cách sử dụng dấu ngoặc nhọn. Dãy số sau biểu diễn tất cả các số tự nhiên. Một dãy có thể hữu hạn hoặc vô hạn tùy thuộc vào số lượng các số hạng mà nó có thể có.

Bây giờ chúng ta biết chuỗi là gì, chúng ta hãy tìm hiểu về chuỗi. Trình tự và chuỗi rất thường bị nhầm lẫn với nhau. Chuỗi có nguồn gốc từ các chuỗi. Trong bài này, chúng ta sẽ thảo luận về tổng của n số hạng của một chuỗi số học với các công thức và ví dụ.

Chuỗi số học là gì?

Một chuỗi được định nghĩa là tổng các số hạng của một chuỗi. Nó được ký hiệu là

Trong đó a _i là số hạng ^thứ i của dãy và I là một biến. ∑ là một ký hiệu viết tắt của ‘tổng kết’. Nó được phát minh bởi Leonard Euler, một nhà toán học Thụy Sĩ.

Ý nghĩa của biểu thức trên được viết bằng phép tính tổng là:

Tổng của N số hạng của một chuỗi số học

Bây giờ chúng ta hãy thảo luận về một số chuỗi số học đặc biệt và tổng của chúng.

Trường hợp 1:

• 1 + 2 + 3 + 4 + ………. + n

Dãy số học này biểu diễn tổng của n số tự nhiên. Chúng ta hãy thử tính tổng của chuỗi số học này.

Hiệu giữa tổng của n số tự nhiên và tổng của (n – 1) số tự nhiên là n, tức là

S _n – S _n-1 = n

Bây giờ chúng ta hãy tiếp tục bằng cách lấy hiệu của tổng của n số tự nhiên và tổng của (n -2) số tự nhiên, v.v.

S _n – S _n-2 = n + (n – 1) = 2n -1

S _n – S _n-3 = n + (n – 1) + (n – 2) = 3n – (1 + 2)

S _n – S _n-4 = n + (n – 1) + (n – 2) + (n – 3) = 4n – (1 + 2 + 3)

Tiến hành theo cách tương tự, thuật ngữ chung có thể được diễn đạt như sau:

Theo phương trình trên, số hạng ^thứ n rõ ràng là kn và các số hạng còn lại là tổng các số tự nhiên đứng trước nó.

Bây giờ nếu k = n, phương trình 1 có thể được viết thành:

Vì S ₀ là 0 nên tổng trên trở thành

Ngoài ra, sigma (p to n-1) {p} thiếu một n của S _n

Vì thế,

Thay giá trị của phương trình (3) vào (2), ta được

Trường hợp 2:

• 1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² + ………. + n ²

Dãy số học này biểu diễn tổng bình phương của n số tự nhiên. Chúng ta hãy thử tính tổng của chuỗi số học này.

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy xem xét đồng dạng p ³ – (p – 1) ³ = 3p ² – 3p + 1. Trong đồng dạng này, chúng ta hãy đặt p = 1, 2, 3…. liên tiếp, chúng tôi nhận được

2 ³ – (1 – 1) ³ = 3 (1) ² – 3 (1) + 1

2 ³ – (2 – 1) ³ = 3 (2) ² – 3 (2) + 1

3 ³ – (3 – 1) ³ = 3 (3) ² – 3 (3) + 1

……………………………………… ..

……………………………………… ..

……………………………………… ..

n ³ – (n – 1) ³ = 3 (n) ² – 3 (n) + 1

Thêm cả hai vế của phương trình, chúng ta nhận được

Chúng ta đã tính tổng của n số tự nhiên là

Thay giá trị n này vào phương trình (4), ta được

Điều này đại diện cho tổng bình phương của các số tự nhiên bằng cách sử dụng ký hiệu tổng. Nó có thể được đơn giản hóa thành:

Trường hợp 3:

• 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + ………. + n ³

Dãy số học này biểu diễn tổng các lập phương của n số tự nhiên. Chúng ta hãy thử tính tổng của chuỗi số học này.

Để chứng minh điều này, chúng ta hãy xem xét đồng dạng (p + 1) ⁴ – p ⁴ = 4p ³ + 6p ² + 4p + 1. Trong đồng dạng này, chúng ta hãy đặt p = 1, 2, 3…. liên tiếp, chúng tôi nhận được

2 ⁴ – 1 ⁴ = 4 (1) ³ + 6 (1) ² + 4 (1) + 1

3 ⁴ – 2 ⁴ = 4 (2) ³ + 6 (2) ² + 4 (2) + 1

4 ⁴ – 3 ⁴ = 4 (3) ³ + 6 (3) ² + 4 (3) + 1

…… .. ……………………………………… ..

……… .. …………………………………… ..

………… .. ………………………………… ..

(n + 1) ⁴ – n ⁴ = 4n ³ + 6n ² + 4n + 1

Thêm cả hai vế của phương trình, chúng ta nhận được

Chúng ta đã tính tổng của n số tự nhiên và tổng bình phương của n số tự nhiên là

Thay các giá trị này vào phương trình (4) và đơn giản hóa, chúng ta nhận được

Điều này đại diện cho tổng bình phương của các số tự nhiên bằng cách sử dụng ký hiệu tổng. Nó có thể được đơn giản hóa thành:

Xem thêm bài viết:

• Lập trình tuyến tính cho lớp 12 là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.
• Sự khác biệt giữa tính chất chuyên sâu và mở rộng dễ hiểu
• Sự khác biệt giữa sợi tự nhiên và tổng hợp chuẩn nhất