Công thức của Euler
Công thức của Euler nói rằng ‘Đối với bất kỳ số thực nào x, etôi x = cos x + i sin x.
Cho z là một số phức khác 0; chúng tôi có thể viếtvới ở dạng cực như,
với = r ( c o s θ + i s i n θ ) = r etôi θ, Ở đâu r là mô đun và θ là đối số của với.
Nhân một số phức với với etôi α cho, vớietôi α = retôi θ × etôi α = rei ( α + θ ) Số phức kết quả rei ( α + θ ) sẽ có cùng một mô-đun r và tranh luận ( α + θ ).
Định lý De Moivre
Nó nói rằng với bất kỳ số nguyên nào n,
( c o s θ + i s i n θ )n = c o s ( n θ ) + i s i n ( n θ )
Điều này có thể dễ dàng chứng minh bằng cách sử dụng công thức của Euler như hình dưới đây.
Chúng ta biết rằng, ( c o s θ + i s i n θ ) = etôi θ
( c o s θ + i s i n θ )n = etôi ( n θ )
Vì thế,
etôi ( n θ ) = c o s ( n θ ) + i s i n ( n θ )
nt h gốc rễ của sự thống nhất
Nếu bất kỳ số phức nào thỏa mãn phương trình vớin = 1, Nó được biết đến như nt h gốc của sự thống nhất.
Định lý cơ bản của đại số nói rằng, một phương trình của mức độn sẽ có nrễ. Do đó, cón giá trị của với thỏa mãn vớin = 1.
Để tìm các giá trị của với, chúng tôi có thể viết,
1 = c o s ( 2 k π ) + i s i n ( 2 k π ) , – (1) trong đó k có thể là bất kỳ số nguyên nào.
Chúng ta có,
vớin = 1
với = 11n
Từ 1),
với = [ c o s ( 2 k π ) + i s i n ( 2 k π ) ]1n
Theo định lý De Moivre,
với = [ c o s ( 2 k πn) +tôilàtôin ( 2 k πn) ], Ở đâu k = 0 , 1 , 2 , 3 , … … . . , n – 1
Ví dụ; nếun = 3, sau đó k = 0 , 1 , 2
Chúng ta biết rằng, với = c o s ( 2 k πn) +tôilàtôin ( 2 k πn) = e2 k π in
Để cho ω = c o s ( 2 πn) +tôilàtôin ( 2 πn) = e2 π in
nt h nguồn gốc của sự thống nhất được tìm thấy bởi,
Khi nào k = 0; với = 1
k = 1; với = ω
k = 2; với = ω2
k = n; với = ωn – 1
Vì thế, nt h gốc rễ của sự thống nhất là 1 , ω ,ω2,ω3, … … . ,ωn – 1
- Tổng của nt h gốc rễ của sự thống nhất là,1 + ω + ω2 + ω3 + ⋯ + ωn – 1 Nó là chuỗi hình học có số hạng đầu tiên là 1 và tỷ lệ chung ω.Bằng cách sử dụng tổng của n điều khoản của một bác sĩ đa khoa,1 + ω + ω2 + ω3 + ⋯ + ωn – 1 = 1 – ωn1 – ω Từ ω Là nt h gốc rễ của sự thống nhất, ωn = 1Vì thế, 1 + ω + ω2 + ω3 + ⋯ + ωn – 1 = 0
Gốc lập phương của sự thống nhất:
Chúng ta biết rằng nt h gốc rễ của sự thống nhất là 1 , ω ,ω2,ω3, … … . ,ωn – 1 .
Do đó, các gốc hình khối của sự thống nhất là 1 , ω ,ω2 Ở đâu,
ω = c o s ( 2 π3) +tôilàtôin ( 2 π3) = – 1 + √ 3 i 2
ω2 = c o s (4 π3) +tôilàtôin ( 4 π3) = – 1 – √ 3 i 2
Tổng của các gốc lập phương của hợp nhất,
1 + ω + ω2 = 0
Sản phẩm của gốc hình khối của sự thống nhất,
1 × ω × ω2 = ω3 = 1
Thí dụ: a và b là gốc của phương trình x2 + x + 1 = 0, Tìm giá trị của a17 + b20
Gốc của phương trình là
a = – 1 + √ ( 1 – 4 ) 2 = – 1 + √ 3 i 2
b = – 1 – √ 3 i 2
Giá trị của a và b bằng ω và ω2 tương ứng.
a17 + b20 = ω17 + ( ω2)20 = ω17 + ω40 = ω2 + ω
[Từ ω17 = ω15 × ω2 và ω40 = ω39 × ω ] [Và kể từ khi 1 + ω + ω2 = 0]Vì thế,
a17 + b20 = – 1
Xem thêm:
