Các hàm tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa hàm có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng Euler – Lagrange của phép tính các biến thể. Hai từ cực đại và cực tiểu trong tiếng Latinh này về cơ bản có nghĩa tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm, điều này khá rõ ràng. Cực đại và cực tiểu được gọi chung là “Cực trị”. Ở đây, chúng tôi giả định rằng chức năng của chúng tôi là liên tục cho toàn bộ miền của nó. Trước khi biết cách tìm cực đại và cực tiểu, trước hết chúng ta nên tìm hiểu về đạo hàm. Giả sử rằng tất cả các bạn đều biết cách tìm đạo hàm, hãy cùng chúng tôi đi tìm hiểu về một số đường cong. Các đường cong là gì?
Các đường cong là gì?
Hình 1: Các đường cong
Hình 2: Giá trị của một hàm
Một đường cong được định nghĩa là liên tục một chiều . Trong hình 1, đường cong đó là đồ thị của một hàmf tôi n x . f( x ) đại diện cho giá trị của hàm tại x. Giá trị của f khi nào x = a, sẽ là f( a ). Tương tự, đối vớiB , C a n d D. Bạn có thể tham khảo hình. 2 để hiểu điều này. Từ hình vẽ ta thấy khá rõ giá trị của hàm số đã cho có giá trị lớn nhất tại x = b, tức làf( b ).
Khoảng của một hàm số đóng một vai trò rất quan trọng để tìm các giá trị cực trị của một hàm số. Nếu khoảng thời gian mà hàmf được định nghĩa trong R, thì chúng ta không thể nói về cực đại và cực tiểu của f. Chúng ta có thể hiểu nó một cách hợp lý rằng mặc dùf( b )dường như có giá trị lớn nhất, chúng tôi không thể chắc chắn rằng nó có giá trị lớn nhất cho đến khi chúng tôi nhìn thấy biểu đồ cho toàn bộ miền của nó .
Cực đại cục bộ và cực tiểu
Chúng tôi có thể không biết liệu f( b ) là giá trị lớn nhất của f, nhưng chúng tôi có thể cung cấp một số tín dụng để chỉ ra. Chúng ta có thể làm điều này bằng cách khai báoB là mức tối đa cục bộ cho chức năng f. Chúng cũng được gọi là cực đại tương đối và cực tiểu. Các cực đại và cực tiểu cục bộ này được định nghĩa là:
- Nếu f( a ) ≤ f( x ) cho tất cả x trong P′S vùng lân cận (trong khoảng cách gần đó P , Ở đâu x = a ), f được cho là có mức tối thiểu cục bộ tại x = a.
- Nếu f( a ) ≥ f( x ) cho tất cả trong P′S vùng lân cận (trong khoảng cách gần đó P, Ở đâu x = a), f được cho là có mức tối đa cục bộ ở x = a.
Trong ví dụ trên, B a n d D là cực đại địa phương và A a n d Clà cực tiểu cục bộ. Cực đại cục bộ và cực tiểu được gọi chung là Cực trị cục bộ.
Bây giờ chúng ta hãy điểm qua P, Ở đâu x = avà cố gắng phân tích bản chất của các dẫn xuất. Có tổng cộng bốn khả năng:
- Nếu f′( a ) = 0 , tiếp tuyến được vẽ song song với x – a x i s, tức là độ dốc bằng không. Có ba trường hợp có thể xảy ra:
- Giá trị của f , khi so sánh với giá trị của f tại P , tăng nếu bạn di chuyển về phía phải hoặc trái của P (Cực tiểu cục bộ: trông giống như thung lũng)
- Giá trị của f, khi so sánh với giá trị của f tại P, giảm nếu bạn di chuyển về phía bên phải hoặc bên trái của P (Cực đại địa phương: trông giống như những ngọn đồi)
- Giá trị của f , khi so sánh với giá trị của f tại P , tăng và giảm khi bạn di chuyển về phía trái và phải tương ứng của P(Không: trông giống như một vùng đất bằng phẳng)
- Nếu, tiếp tuyến được vẽ ở một hệ số góc âm. Giá trị của f ‘(a), tại p, tăng nếu bạn di chuyển về phía bên trái của và giảm nếu bạn di chuyển về phía bên phải của. Vì vậy, trong trường hợp này, chúng ta cũng không thể tìm thấy bất kỳ điểm cực trị cục bộ nào.
- Nếu, tiếp tuyến được vẽ ở một hệ số góc dương. Giá trị của f ‘(a), tại P, tăng nếu bạn di chuyển về phía bên phải của và giảm nếu bạn di chuyển về phía trái của. Vì vậy, trong trường hợp này, chúng ta không thể tìm thấy bất kỳ điểm cực trị cục bộ nào.
- f′ không tồn tại ở điểm P, tức là chức năng không thể phân biệt được tại P. Điều này thường xảy ra khi biểu đồ của fcó một góc nhọn ở đâu đó. Tất cả ba trường hợp được thảo luận ở điểm trước cũng đúng cho điểm này.
Để ghi nhớ điều này, bạn có thể tham khảo Bảng 1.
Bảng 1: Các khả năng khác nhau của đạo hàm của một hàm
| Bản chất của f ‘(a) | Bản chất của độ dốc | Thí dụ | Địa phương cuối cùng |
| f ‘(a)> 0 | Tích cực |  |
Cũng không |
| f ‘(a) <0 | Tiêu cực |  |
Cũng không |
| f ‘(a) = 0 | Số không | 
|
Tối thiểu cục bộ
Tối đa địa phương
Cũng không |
| Không xác định | Không xác định | 
|
Tối thiểu cục bộ
Tối đa địa phương
Cũng không |
Điểm tới hạn là gì?
Trong toán học, Điểm tới hạn của hàm vi phân của một biến số thực hoặc biến phức là bất kỳ giá trị nào trong miền của nó mà đạo hàm của nó bằng 0. Từ đây ta có thể suy ra rằng mọi cực trị cục bộ đều là điểm tới hạn nhưng mọi điểm tới hạn không cần phải là cực đoan địa phương. Vì vậy, nếu chúng ta có một hàm liên tục, nó phải có cực đại và cực tiểu hoặc cực trị cục bộ. Điều này có nghĩa là mỗi chức năng như vậy sẽ có các điểm quan trọng. Trong trường hợp hàm đã cho là đơn điệu , giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nằm ở các điểm cuối của miền xác định của hàm cụ thể đó.
Do đó, cực đại và cực tiểu là những khái niệm rất quan trọng trong phép tính các biến thể, giúp tìm các giá trị cực trị của một hàm số. Bạn có thể sử dụng hai giá trị này và nơi chúng xuất hiện cho một hàm bằng cách sử dụng phương pháp đạo hàm cấp một hoặc phương pháp đạo hàm cấp hai.
Xem thêm:
