Hàm là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học đã có rất nhiều ứng dụng trong thế giới thực. Có thể là những tòa nhà chọc trời khổng lồ hoặc những chiếc xe siêu tốc và việc mô hình hóa chúng đòi hỏi phải áp dụng các chức năng một cách có phương pháp. Hầu hết tất cả các vấn đề trong thế giới thực đều được xây dựng, diễn giải và giải quyết bằng cách sử dụng các hàm.

Cần phải có hiểu biết về các quan hệ để hiểu các chức năng. Và hiểu biết về các sản phẩm Descartes là cần thiết để hiểu các mối quan hệ. Một  sản phẩm Descartes  của hai bộA và B là bộ sưu tập của tất cả các cặp được đặt hàng ( a , b ) như vậy mà a ∈ A và b ∈ B. Một quan hệ là một tập hợp con của tích Descartes. Do đó, một quan hệ là một quy tắc “liên hệ” một phần tử từ một tập hợp với một phần tử từ một tập hợp khác. Một hàm là một loại quan hệ đặc biệt. Hãy để chúng tôi xem xét một mối quan hệF từ bộ A đến B.

Định nghĩa 1: Một quan hệ F được cho là một hàm nếu mỗi phần tử trong tập hợp A được liên kết với chính xác một phần tử trong tập hợp B.

Để hiểu sự khác biệt giữa quan hệ và chức năng, chúng ta hãy lấy một ví dụ. BộA chứa tên của tất cả các quốc gia đã giành cúp vô địch cricket thế giới và đặt Bchứa danh sách các năm World Cup đã được tổ chức. Biểu đồ mũi tên trong hình 1 đại diện cho một mối quan hệRnhưng không phải là một chức năng. Điều này là do các phần tử trong tập hợpA được liên kết với nhiều phần tử trong tập hợp B.

Nhưng nếu chúng ta xác định một mối quan hệ F từ bộ A đến Bsao cho nó liên kết các quốc gia với năm mà họ giành được cúp thế giới lần đầu tiên. Do đó, với mọi phần tử trong tập hợpA, chúng tôi có chính xác một liên kết trong tập hợp B. Mối quan hệ nàyFđược hiển thị trong hình. 2 đủ điều kiện để trở thành một hàm.

Miền và Phạm vi của một Hàm:

Hãy nhớ rằng trong trường hợp có mối quan hệ, miền có thể không giống với tập hợp bên trái trong sơ đồ mũi tên. Điều này là do tập hợp có thể chứa bất kỳ phần tử nào không có hình ảnh trong tập hợp phù hợp. Nhưng trong trường hợp các hàm, miền sẽ luôn bằng tập đầu tiên. Phạm vi và Codomain của một hàm được định nghĩa giống như cách chúng được định nghĩa cho các quan hệ.

Tên miền và phạm vi

Chúng ta hãy xem xét Tên miền và Phạm vi được đưa ra chi tiết ở đây.

Miền

• Tập hợp tất cả các giá trị có thể đủ điều kiện làm đầu vào cho một hàm được gọi là miền của hàm hoặc nó cũng có thể được định nghĩa là toàn bộ tập giá trị có thể có cho các biến độc lập.
  • Miền có thể được tìm thấy trong – mẫu số của phân số không bằng 0 và chữ số dưới dấu ngoặc vuông là số dương. (Trong trường hợp một hàm có giá trị phân số).

Ví dụ, miền của hàm F  được đặt A  tức là {Ấn Độ, Pakistan, Úc, Sri Lanka}.

Cách tìm miền của một hàm

• Để tìm miền, chúng ta cần nhìn vào giá trị của các biến độc lập được phép sử dụng như đã giải thích ở trên, nghĩa là không có số 0 ở dưới cùng của phân số và không có dấu âm bên trong căn bậc hai.
• Nói chung, tập tất cả các số thực (R) được coi là miền của một hàm có một số hạn chế. Đó là:
  Khi hàm số đã cho có dạng f (x) = 2x + 5 của f (x) = x ² – 2 thì miền sẽ là “tập hợp tất cả các số thực.
  Khi hàm số đã cho có dạng f (x) = 1 / (x – 1) thì miền sẽ là tập hợp tất cả các số thực trừ 1.
• Trong một số trường hợp, khoảng được xác định cùng với hàm như f (x) = 3x + 4, 2 <x <12. Ở đây, x có thể nhận các giá trị từ 2 đến 12 làm đầu vào (tức là miền).
• Giới hạn miền đề cập đến các giá trị mà hàm đã cho không thể được xác định.

Phạm vi

•  Tập hợp tất cả các đầu ra của một hàm được gọi là phạm vi của hàm hoặc sau khi thay thế miền, toàn bộ tập hợp tất cả các giá trị có thể là kết quả của biến phụ thuộc.

Ví dụ, phạm vi của hàm F  là {1983, 1987, 1992, 1996}. Mặt khác, toàn bộ tập B  được gọi là miền đồng của hàm. Nó là tập hợp chứa tất cả các đầu ra của hàm. Vì vậy, tập hợp các số thực là đồng miền cho mọi hàm có giá trị thực. Các codomain của hàm  F  là tập hợp B .