Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Đạo hàm trong Toán học là gì?

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18

  • Để đảm bảo chất lượng học và dạy cũng như chất lượng đầu ra cho sinh viên, năm 2021 Khoa nhận đào tạo 200 sinh viên đối với ngành Đại Học Điều DưỡngDược tuyển sinh theo hình thức xét tuyển.
  • HOẶC NỘP HỒ SƠ TRỰC TUYẾN TẠI ĐÂY >>>  CLICK VÀO ĐÂY 

Đạo hàm được định nghĩa là tỷ lệ thay đổi khác nhau của một hàm đối với một biến độc lập. Đạo hàm chủ yếu được sử dụng khi có một số lượng thay đổi và tốc độ thay đổi không cố định. Đạo hàm được sử dụng để đo độ nhạy của một biến (biến phụ thuộc) đối với một biến khác (biến độc lập). Trong bài này, chúng ta sẽ thảo luận về đạo hàm là gì, định nghĩa của đạo hàm trong Toán học, giới hạn và đạo hàm một cách chi tiết.

Các dẫn xuất

Ý nghĩa phái sinh

Đạo hàm trong Toán học đề cập đến tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng đối với đại lượng kia. Nó giúp điều tra từng thời điểm bản chất của một số tiền.

Ví dụ về phái sinh:

Để một ô tô mất ‘t’ giây để chuyển động từ điểm ‘a’ đến điểm ‘b’.

Các dẫn xuất

Nhưng sẽ mất bao lâu để chuyển từ điểm ‘a’ sang ‘c’?

Hoặc là

Nó sẽ đi được quãng đường bao nhiêu trong ‘t-1’ giây?

Điều này có thể được biết từ vận tốc như sau:

Vận tốc (v) = d (x) / d (t)

Trong đó ‘x’ là quãng đường đi được và ‘t’ là thời gian thực hiện được quãng đường đó.

Điều này sẽ cung cấp cho bạn khoảng cách được bao phủ trên một đơn vị thời gian để chúng tôi có thể phân tích bất kỳ khoảng cách nào được bao phủ trong bất kỳ khoảng thời gian nào.

Đạo hàm trong Toán – Giải tích

Quá trình tìm đạo hàm được gọi là phân biệt. Quá trình nghịch đảo được gọi là quá trình chống phân hóa. Hãy tìm đạo hàm của hàm số y = f (x). Nó là thước đo tốc độ mà giá trị của y thay đổi so với sự thay đổi của biến x. Nó được gọi là đạo hàm của hàm “f”, đối với biến x.

Nếu một thay đổi nhỏ trong x được ký hiệu là dx, thì đạo hàm của y đối với x được viết là dy / dx .

Ở đây đạo hàm của y đối với x được đọc là “dy bởi dx” hoặc “dy over dx”

Thí dụ:

Gọi ‘y’ là biến phụ thuộc và ‘x’ là biến độc lập.

Xét một sự thay đổi giá trị của x, đó là dx.

Sự thay đổi này trong x sẽ mang lại một sự thay đổi trong y, giả sử đó là dy.

Bây giờ để tìm ra sự thay đổi trong y với sự thay đổi đơn vị trong x như sau:

Gọi f (x) là một hàm có giá trị thay đổi khi giá trị của x thay đổi

Các bước để tìm Đạo hàm:

  1. Thay đổi x bởi giá trị nhỏ nhất có thể và gọi đó là ‘ h’ và do đó hàm trở thành f (x + h).
  2. Nhận sự thay đổi giá trị của hàm đó là: f (x + h) – f (x)
  3. Tỷ lệ thay đổi trong hàm f (x) khi chuyển từ ‘ x ‘ thành ‘ x + h ‘ sẽ là

dydxim→ 0f– f)h

Bây giờ d (x) là không thể bỏ qua vì nó được coi là quá nhỏ.

Công thức phái sinh

Các công thức của đạo hàm cho một số hàm như hàm tuyến tính, hàm mũ và logarit được liệt kê dưới đây:

  • d / dx (k) = 0, trong đó k là hằng số bất kỳ
  • d / dx (x) = 1
  • d / dx (x n ) = nx n-1
  • d / dx (kx) = k, trong đó k là hằng số bất kỳ
  • d / dx (√x) = 1 / 2√x
  • d / dx (1 / x) = -1 / x 2
  • d / dx (log x) = 1 / x, x> 0
  • d / dx (e x ) = e x
  • d / dx (a x ) = a x  log a

Các loại phái sinh

Các phái sinh có thể được phân thành nhiều loại khác nhau dựa trên thứ tự của chúng như phái sinh bậc nhất và bậc hai. Chúng có thể được định nghĩa như được đưa ra dưới đây.

Phái sinh bậc nhất

Đạo hàm bậc nhất cho biết về hướng của hàm cho dù hàm tăng hay giảm. Phép toán đạo hàm bậc nhất hay đạo hàm bậc nhất có thể được hiểu là tốc độ thay đổi tức thời. Nó cũng có thể được dự đoán từ độ dốc của đường tiếp tuyến.

Phái sinh bậc hai

Các đạo hàm cấp hai được sử dụng để có được ý tưởng về hình dạng của đồ thị cho hàm số đã cho. Các chức năng có thể được phân loại theo mức độ ngắn gọn. Độ sâu của đồ thị hàm số đã cho được phân thành hai loại cụ thể là:

  • Lõm lên
  • Lõm xuống

Ví dụ về Giải tích-Đạo hàm

Gọi f (x) là một hàm trong đó f (x) = x 2

Đạo hàm của x 2 là 2x, có nghĩa là với mọi thay đổi đơn vị theo x, giá trị của hàm số trở thành hai lần (2x).

Giới hạn và Phái sinh

Khi dx được tạo ra quá nhỏ và gần như không có gì. Với Giới hạn, chúng ta muốn nói rằng x tiến tới 0 nhưng không trở thành 0.

Về mặt toán học: với mọi thực ε> 0 tồn tại thực δ> 0 sao cho với mọi x với 0 <| x – c | <δ, (ở đây c ∈ R) ta có | f (x) – L | <ε

Ý chính

  • Để phân biệt một lũy thừa của x ở mẫu số, trước tiên hãy biểu thị nó dưới dạng lũy ​​thừa với số mũ âm. Ví dụ. 1x2=x– 2
  • Quy tắc đạo hàm đơn giản hóa quá trình phân biệt các hàm đa thức .
  • Để phân biệt một cấp số nhân, trước tiên, hãy biểu thị nó dưới dạng một lũy thừa với một số mũ hợp lý

Áp dụng các quy tắc phái sinh để giải quyết vấn đề về tỷ lệ thay đổi tức thời

Một vận động viên nhảy dù nhảy ra khỏi máy bay từ độ cao 2200 m. Chiều cao của người nhảy dù so với mặt đất, tính bằng mét, sau t giây được biểu thị bằng hàm h (t) = 2200 – 4,9t 2  (giả sử lực cản của không khí không phải là một hệ số). Vận tốc của người nhảy dù rơi xuống sau 4 s là bao nhiêu?

Giải pháp

Tốc độ thay đổi tức thời của chiều cao của người nhảy dù tại bất kỳ thời điểm nào được biểu thị bằng đạo hàm của hàm chiều cao.

h (t) = 2200 – 4,9t 2

h ‘(t) = 0 – 4,9 (2t) = -9,8 t

Thay t = 4 vào hàm đạo hàm để tìm tốc độ thay đổi tức thời tại thời điểm 4 s.

h ‘(t) = – 9,8 (4) = -39,2

Sau 4 s, người nhảy dù đang rơi với vận tốc 39,2 m / s.

Đạo hàm của các hàm lượng giác

Chúng ta cũng có thể tìm đạo hàm của các hàm lượng giác có nghĩa là đối với sin, cos, tan, v.v. Các công thức được đưa ra dưới đây:

  • d / dx (sin x) = cos x
  • d / dx (cos x) = -sin x
  • d / dx (tan x) = giây 2 x
  • d / dx (cosec x) = -cosec x cot x
  • d / dx (giây x) = giây x tan x
  • d / dx (cot x) = -cosec 2 x

Đạo hàm của tan x

Đạo hàm của tan x có thể được suy ra bằng cách sử dụng quy tắc thương như hình dưới đây:

Cho f (x) = tan x 

Ta biết rằng tan x = sin x / cos x

Ta lấy u = sin x và v = cos x

Như chúng ta biết,

d / dx (u / v) = [v (du / dx) – u (dv / dx)] / v 2

d / dx (sin x / cos x) = [cos x (d / dx) sin x – sin x (d / dx) cos x] / cos 2 x

= [cos x. cos x – sin x. (-sin x)] / cos 2 x

= (cos 2 x + sin 2 x) / cos 2 x

Sử dụng đồng dạng sin 2 A + cos 2 A = 1,

= 1 / cos 2 x

= giây 2 x [vì 1 / cos x = giây x]

d / dx (tan x) = giây 2 x

Do đó, đạo hàm của tan x là sec 2 x.

Đạo hàm của 1 / x

Đạo hàm của 1 / x có thể được suy ra như sau:

d / dx (1 / x) = d / dx (x -1 )

Chúng ta biết rằng d / dx (x n ) = nx n – 1

Đây, n = -1

d / dx (1 / x) = d / dx (x -1 ) = (-1) x (-1 – 1)

= -x -2

= -1 / x 2

Do đó, đạo hàm của 1 / x là -1 / x 2 .

Thuộc tính của phái sinh

Các đạo hàm có thể được chia thành các phần nhỏ hơn để có thể dễ dàng đánh giá các biểu thức đã cho. Trong quá trình tách các biểu thức hoặc hàm, các số hạng được tách ra dựa trên toán tử như cộng (+), trừ (-) hoặc chia (/). Điều này có thể được hiểu rõ hơn bằng cách sử dụng các ví dụ dưới đây.

Ví dụ về phái sinh

Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm số f (x) = 5x 2  – 2x + 6.

Giải pháp:

Được,

f (x) = 5x 2  – 2x + 6

Bây giờ lấy đạo hàm của f (x),

d / dx f (x) = d / dx (5x 2  – 2x + 6)

Hãy để chúng tôi chia các điều khoản của hàm như:

d / dx f (x) = d / dx (5x 2 ) – d / dx (2x) + d / dx (6)

Sử dụng các công thức:

d / dx (kx) = k và d / dx (x n ) = nx n – 1

⇒ d / dx f (x) = 5 (2x) – 2 (1) + 0 = 10x – 2

Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của 2 tan x + 1

Giải pháp:

Cho hàm số đã cho là f (x) = 2 tan x + 1

Bây giờ, lấy đạo hàm,

d / dx f (x) = d / dx (2 tan x + 1)

= d / dx (2 tan x) + d / dx (1)

= 2 (giây 2 x) + 0

= 2 giây 2 x

 

Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm trong Toán học là gì?

Trong toán học, đạo hàm được định nghĩa là phương pháp thể hiện tốc độ thay đổi đồng thời. Điều đó có nghĩa là nó được sử dụng để biểu thị số tiền mà hàm đã cho đang thay đổi tại một thời điểm nhất định.

Các công cụ phái sinh trong tài chính là gì?

Trong lĩnh vực tài chính, phái sinh là hợp đồng giữa hai hoặc nhiều bên có giá trị dựa trên tài sản tài chính cơ bản đã thỏa thuận hoặc tập hợp các tài sản như chứng khoán và chỉ số, tương ứng.

Công thức đạo hàm là gì?

Đạo hàm của hàm số y = f (x) có thể được biểu diễn dưới dạng dy / dx = d / dx f (x), trong đó dy / dx được gọi là đạo hàm của y đối với x và d / dx f (x) là đạo hàm của f (x) đối với x.

Kí hiệu đạo hàm là gì?

Kí hiệu dùng để chỉ đạo hàm của hàm f (x) là d / dx f (x) hoặc f ‘(x). Nếu hàm được biểu diễn bằng cách sử dụng y, thì các đạo hàm bậc nhất và bậc hai của nó lần lượt được ký hiệu là y ‘và y’ ‘.

Tại sao nó được gọi là đạo hàm?

Thuật ngữ đạo hàm được giả sử bắt nguồn từ thực tế là nó là một hàm khác, tức là hàm khác f ′ (x) được chỉ định bởi hàm ban đầu f (x). Do đó, f ‘(x) đã được suy ra từ một hàm khác, giả sử f (x).
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

GIẢI TOÁN ONLINE SIÊU NHANH VÀ CHÍNH XÁC NHẤT

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/10/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.png
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x