Định hướng Cosines
Khi một dòng có hướng OP đi qua điểm gốc làm choa, b và c góc với x, Y và vớitrục tương ứng với O là tham chiếu, những góc này được gọi là góc định hướng của đường thẳng và cosin của những góc này cho ta cosin hướng. Các cosin hướng này thường được biểu diễn dưới dạng l, m và n.
Nếu chúng ta kéo dài đường thẳng OP trên hệ tọa độ Descartes ba chiều, thì để tìm ra cosin hướng, chúng ta cần bổ sung các góc định hướng. Rõ ràng là từ tuyên bố này rằng khi đảo ngược đường OP theo hướng ngược lại, cosin hướng của đường cũng bị đảo ngược. Trong trường hợp đường thẳng đã cho không đi qua gốc tọa độ, một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho đi qua gốc tọa độ được vẽ và khi làm như vậy, các góc vẫn bằng với góc tạo bởi đường thẳng ban đầu. Do đó, chúng tôi nhận được cùng một hướng.
Vì chúng ta đang xem xét một đường thẳng đi qua gốc tọa độ để tìm ra các góc định hướng và cosin của chúng, chúng ta có thể xem xét các vectơ vị trí của đường thẳng OP.
Nếu OP = r , thì từ hình 1 trên, chúng ta có thể thấy rằng
x= r c o s α
Y = r c o s β
với = r c o s γ
Trong đó r biểu thị độ lớn của vectơ và nó được cho bởi,
r = ( x – 0)2+ ( và– 0)2+ ( với– 0)2——————–√
⇒ r =x2+Y2+với2———-√
Các cosin của các góc định hướng được cho bởi c o s α, c o s β và c o s γvà chúng được ký hiệu lần lượt là l, m và n. Do đó, các phương trình trên có thể được sắp xếp lại thành:
x = r c o s α =tôi r ——————————————————— (1)
Y =r c o s β =m r——————————————————– (2)
với = r c o s γ = n r——————————————————— (3)
Chúng ta cũng có thể biểu diễn r theo các thành phần vectơ đơn vị của nó bằng cách sử dụng hệ thống trực giao.
r =xTôi^+ vàj^+ kvới^
Thay các giá trị của x, y và z, chúng ta có
r=tôi rTôi^+ m rj^+ N rvới^
⇒r^ =r| r | = lTôi^+ mj^+ nvới^
Do đó, chúng ta có thể nói rằng cosin góc định hướng của vectơ r là hệ số của vectơ đơn vịTôi^,j^ và k^ khi vector đơn vị r^ được giải quyết theo các thành phần hình chữ nhật của nó.
Bất kỳ số nào tỷ lệ với cosin hướng được gọi là tỷ lệ hướng của một đoạn thẳng. Các số hướng này được biểu diễn bằng a, b và c.
Cũng như OP2 = OA2+ OB2+ OC2
Nói một cách dễ hiểu, r = x2+Y2+với2———-√
Khi chia phương trình,r2=x2+Y2+với2 b y r2chúng ta có,
r2r2=x2r2+Y2r2+với2r2
Sử dụng các phương trình 1, 2 và 3, chúng ta nhận được
⇒ 1= (xr)2+ (Yr)2+ (vớir)2 = l2+m2+n2
Chúng ta có thể kết luận rằng tổng các bình phương của cosin hướng của một đường thẳng là 1.
Từ định nghĩa trên, chúng ta có thể nói rằng
a ∝ l
b ∝ m
c ∝ n
Từ những mối quan hệ này, chúng tôi nhận được
a=k l
b=k m
c=k n
Tỷ số giữa cosin hướng và tỷ số hướng của một đoạn thẳng được cho bởi
la= mb = nc = k
Nhưng chúng tôi biết rằng
l2+m2+n2= 1
Từ điều này, chúng ta có thể thấy rằng k =±1a2+b2+c2√
Giá trị của k có thể được chọn là dương hoặc âm tùy thuộc vào hướng của đường thẳng.
Xem thêm:
Tam giác đồng dư và những ví dụ đơn giản nhất
