Nếu chúng ta kéo dài đường thẳng OP trên hệ tọa độ Descartes ba chiều, thì để tìm ra các cosin hướng, chúng ta cần bổ sung các góc định hướng. Rõ ràng là từ tuyên bố này rằng khi đảo ngược đường OP theo hướng ngược lại, cosin hướng của đường cũng bị đảo ngược. Trong trường hợp đường thẳng đã cho không đi qua gốc tọa độ, một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho đi qua gốc tọa độ được vẽ và làm như vậy, các góc vẫn bằng với góc tạo bởi đường ban đầu. Do đó, chúng tôi nhận được cùng một hướng.
Vì chúng ta đang xem xét một đường thẳng đi qua gốc tọa độ để tìm ra các góc định hướng và cosin của chúng, chúng ta có thể xem xét các vectơ vị trí của đường thẳng OP.
Nếu OP = r , thì từ hình 1 trên, chúng ta có thể thấy rằng
x =r c o s α
y =r c o s β
z =r c o s γ
Trong đó r biểu thị độ lớn của vectơ và nó được cho bởi,
r =( x – 0)2+ ( y– 0)2+ ( z– 0)2——————–√
⇒ r =x2+y2+z2———-√
Các cosin của góc định hướng được cho bởi , và và chúng được ký hiệu lần lượt là l, m và n. Do đó, các phương trình trên có thể được sắp xếp lại thành:c o s αc o s βc o s γ
x = = ——————————————————— (1)r c o s αtôi r
y = = ——————————————————– (2)r c o s βm r
z = = ——————————————————— (3)r c o s γn r
Chúng ta cũng có thể biểu diễn r theo các thành phần vectơ đơn vị của nó bằng cách sử dụng hệ thống trực giao.
r =xTôi^+ yj^+ kz^
Thay các giá trị của x, y và z, chúng ta có
r =tôi rTôi^+ m rj^+ n rz^
⇒r^ = =r| r |lTôi^+ mj^+ nz^
Do đó, chúng ta có thể nói rằng cosin góc định hướng của vectơ r là hệ số của vectơ đơn vị , và khi vectơ đơn vị được giải quyết trong điều kiện của các thành phần hình chữ nhật của nó.Tôi^j^k^r^
Bất kỳ số nào tỷ lệ với cosin hướng được gọi là tỷ lệ hướng của một đoạn thẳng. Các số hướng này được biểu diễn bằng a, b và c.
Cũng như =OP2OA2+ OB2+ OC2
Nói một cách dễ hiểu, =rx2+y2+z2———-√
Khi chia phương trình, = chúng ta có,r2x2+y2+z2 b y r2
r2r2 =x2r2+y2r2+z2r2
Sử dụng các phương trình 1, 2 và 3, chúng ta nhận được
⇒ 1 = =(xr)2+ (yr)2+ (zr)2l2+m2+n2
Chúng ta có thể kết luận rằng tổng các bình phương của cosin hướng của một đường thẳng là 1.
Từ định nghĩa trên, chúng ta có thể nói rằng
a ∝ l
b ∝ m
c ∝ n
Từ những mối quan hệ này, chúng tôi nhận được
a =k l
b =k m
c =k n
Tỷ số giữa cosin hướng và tỷ số hướng của một đoạn thẳng được cho bởi
la = = =mbnck
Nhưng chúng tôi biết rằng
l2+m2+n2 =1
Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng =k±1a2+b2+c2√
Giá trị của k có thể được chọn là dương hoặc âm tùy thuộc vào hướng của đường thẳng.
Chúng ta có thể lấy bất kỳ số lượng tỷ lệ hướng nào bằng cách thay đổi giá trị của k.
Xem thêm:
