Định lý Giá trị Trung bình là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

f′( c ) =f( b ) – f( a )b – a

Chúng ta hãy đi qua chứng minh của định lý này cùng với các ứng dụng cho tích phân và đạo hàm.

Định lý Giá trị Trung bình là gì?

Theo định lý, nếu f (x) xác định và liên tục trên khoảng [a, b] và có thể phân biệt trên (a, b) thì ta có ít nhất một giá trị c trong khoảng (a, b) trong đó a <c <b, sao cho

f′( c ) =f( b ) – f( a )b – a

Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt trong đó f (a) = f (b). Ở đây, ta có f ‘(c) = 0. Nếu đặt khác đi, có một điểm trong khoảng (a, b) có một tiếp tuyến nằm ngang. Định lý Giá trị Trung bình cũng có thể được phát biểu dựa trên độ dốc.

f( b ) – f( a )b – a

Chứng minh Định lý Giá trị Trung bình

Định lý giá trị trung bình có thể được chứng minh bằng cách sử dụng hệ số góc của đường thẳng. Giá trị là hệ số góc của đường thẳng đi qua (a, f (a)) và (b, f (b)). Do đó, kết luận của Định lý Giá trị Trung bình, nó nói rằng có một điểm ‘c’ tại đó đường thẳng tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua (a, f (a)) và (b, f (b)) .

Định lý Giá trị Trung bình cho Tích phân

Định lý giá trị trung bình cho tích phân là hệ quả trực tiếp của định lý cơ bản đầu tiên của giải tích và định lý giá trị trung bình. Định lý này phát biểu rằng nếu “f” liên tục trên khoảng giới hạn đóng, giả sử [a, b], thì tồn tại ít nhất một số trong c trong (a, b), sao cho

f( c ) =1b – a∫baf( t ) dt

Định lý giá trị trung bình cho phái sinh

Giả sử f là một hàm liên tục, có giá trị thực, được mô tả trên một khoảng (I) tùy ý của đường thực. Nếu đạo hàm của hàm f tại mỗi điểm trong của I tồn tại và bằng 0 thì f là hằng số trong nội tại.

Chứng minh: Cho (a, b) là một khoảng mở tùy ý trong I. Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại điểm c thuộc (a, b) sao cho;

0 =f′( c ) =f( b ) – f( a )b – a

Điều này chỉ ra rằng f (a) = f (b). Do đó, f liên tục trên nội thất của I.

Ví dụ về Định lý Giá trị Trung bình

Cho f (x) = 1 / x, a = -1 và b = 1.

Chúng tôi biết, f (b) – f (a) / ba

= 2/2 = 1

Trong khi, với bất kỳ cϵ (-1, 1) nào, không bằng 0, chúng ta có

f ‘(c) = -1 / c ² ≠ 1

Do đó, phương trình f ‘(c) = f (b) – f (a) / b – a không có nghiệm nào trong c. Nhưng điều này không thay đổi Định lý Giá trị Trung bình vì f (x) không liên tục trên [-1,1].

Xem thêm: 

Tóm tắt truyện Lão Hạc

Giải thích Câu phương ngôn thất bại là mẹ thành công

MỞ BÀI RỪNG XÀ NU HAY NHẤT