Định lý Green là gì?
Định lý Green là một trong bốn định lý cơ bản của giải tích, trong đó cả bốn định lý này đều có liên quan chặt chẽ với nhau. Một khi bạn tìm hiểu về khái niệm tích phân đường và tích phân bề mặt , bạn sẽ biết được định lý Stokes dựa trên nguyên tắc liên kết giữa các tuần hoàn vĩ mô và vi mô như thế nào. Tương tự, định lý Green xác định mối quan hệ giữa tuần hoàn vĩ mô của đường cong C và tổng của tuần hoàn vi mô nằm bên trong đường cong C.
Tuyên bố định lý Green
Gọi C là đường cong có hướng dương, nhẵn và đơn giản trong một mặt phẳng, và D là vùng giới hạn bởi C. Nếu L và M là các hàm của (x, y) được xác định trên vùng mở, chứa D và có đạo hàm riêng liên tục, thì định lý Green được phát biểu là
∮C( L dx + MdY) =∬D(∂M∂x–∂L∂x) dx dYTrường hợp tích phân đường đi ngược chiều kim đồng hồ cùng với C.
Chứng minh định lý Green
Chứng minh của định lý Green được đưa ra ở đây. Theo câu lệnh, L và M là các hàm của (x, y) được xác định trên miền mở, chứa D và có đạo hàm riêng liên tục. Vì vậy, dựa trên điều này, chúng tôi cần chứng minh:
Vùng định lý Green
Với sự trợ giúp của định lý Green, có thể tìm thấy diện tích của các đường cong kín.
Từ định lý Green,
∮C( L dx + MdY) =∬D(∂M∂x–∂L∂x) dx dYNếu trong công thức, (∂M∂x–∂L∂x) = 1, sau đó chúng tôi có,
∮C( L dx + MdY) =∬Ddx dYDo đó, tích phân đoạn thẳng được xác định bởi định lý Green cho diện tích của đường cong đóng. Do đó, chúng ta có thể viết công thức diện tích dưới dạng:
- A = –∫cYdx
- A =∫cx dY
- A =12∫c( x dY– vàdx )
Định lý Green Gauss
Nếu Σ là mặt phẳng Z của hàm f (x, y) trên miền R và Σ nằm trong V thì
- ∬∑P( x , y, với) d∑ tồn tại.
- ∬∑P( x , y, với) d∑ =∬RP( x , y, f( x , y) )1 +f21( x , y) +f22( x , y)——————√dS
Nó làm giảm tích phân bề mặt thành tích phân kép thông thường.
Định lý Gauss của Green có thể được phát biểu từ biểu thức trên.
Nếu P (x, y, z), Q (x, y, z) và R ((x, y, z) là ba điểm trên V và nó bị giới hạn bởi vùng ∑∗ và α, β, và γ là các góc định hướng, khi đó
∫∬V[P1( x , y, với) +Q2+R3( x , y, với) ] dV=∬∑∗[ P( x , y, với) c o s α + Q ( x , y, với) c o s β+ R ( x , y, với) c hoặc s γ] d∑
Ví dụ về định lý Green
Hãy để chúng tôi giải quyết một ví dụ dựa trên định lý Green.
Ứng dụng định lý Green
Định lý Green là trường hợp cụ thể của Định lý Stokes trong đó bề mặt nằm hoàn toàn trong mặt phẳng. Nhưng với các hình thức đơn giản hơn. Đặc biệt trong một trường vectơ trong mặt phẳng. Ngoài ra, nó được sử dụng để tính toán diện tích; vectơ tiếp tuyến với biên được quay 90 ° theo chiều kim đồng hồ để trở thành vectơ pháp tuyến hướng ra ngoài để suy ra dạng phân kỳ của Định lý Green.
Vấn đề định lý Green
- Sử dụng công thức của Green, đánh giá tích phân đường ∮C( x – y) dx + ( x + y) dY, với C là đường tròn x 2 + y 2 = a 2 .
- Tính toán ∮C–x2Ydx + xY2dY, với C là đường tròn bán kính 2 có tâm ở gốc tọa độ.
- Sử dụng Định lý Green để tính diện tích hình elip (x 2 / a 2 ) + (y 2 / b 2 ) = 1 với tích phân đoạn thẳng.
Xem thêm:
