Công thức Định lý Leibnitz
Giả sử có hai hàm u (t) và v (t) có đạo hàm đến bậc n. Bây giờ chúng ta hãy xem xét đạo hàm của tích của hai hàm này.
Đạo hàm đầu tiên có thể được viết là;
(uv) ‘= u’v + uv’
Bây giờ nếu chúng ta phân biệt biểu thức trên một lần nữa, chúng ta nhận được đạo hàm cấp hai;
(uv) ”
= [(uv) ‘]’
= (u’v + uv ‘)’
= (u’v) ‘+ (uv’) ‘
= u′′v + u′v ′ + u ′ v ′ + uv ′ ′
= u′′v + 2u′v ′ + uv ′ ′
Tương tự, chúng ta có thể tìm thấy đạo hàm cấp ba;
(uv) ′ ′ ′
= [(uv) ′ ′] ′
= (u′′v + 2u′v ′ + uv ′ ′) ′
= (u′′v) ′ + (2u′v ′) ′ + (uv ′ ′) ′
= u ′ ′ ′ v + u′′v ′ + 2u′′v ′ + 2u′v ′ ′ + u′v ′ ′ + uv ′ ′ ′
= u ′ ′ ′ v + 3u′′v ′ + 3u′v ′ ′ + uv ′ ′ ′
Bây giờ nếu chúng ta so sánh các biểu thức này, nó được thấy rất giống với khai triển nhị thức được nâng lên thành số mũ. Nếu chúng ta xem xét các số hạng có số mũ 0, u 0 và v 0 tương ứng với chính các hàm u và v, chúng ta có thể tạo ra công thức cho tích đạo hàm bậc n của hai hàm, theo cách đó;
Công thức này được gọi là công thức Quy tắc Leibniz và có thể được chứng minh bằng quy nạp.
Chứng minh định lý Leibnitz
Giả sử rằng các hàm u (t) và v (t) có đạo hàm bậc (n + 1). Bằng quan hệ lặp lại, chúng ta có thể biểu diễn đạo hàm của (n + 1) bậc theo cách sau:
Sau khi phân biệt, chúng tôi nhận được;
Tổng ở phía bên phải có thể được kết hợp với nhau để tạo thành một tổng duy nhất, vì các giới hạn cho cả hai tổng là như nhau. Bây giờ, chúng ta hãy lấy một chỉ số trung gian sao cho 1≤m≤n. Vì vậy, khi i = m, thì số hạng đầu tiên có thể được viết là;
Số hạng thứ hai khi i = m-1 sẽ là;
Khi thêm hai thuật ngữ này, chúng tôi nhận được;
Chúng tôi biết từ khái niệm tổ hợp rằng;
Dựa trên khái niệm trên, chúng ta có thể viết tổng của hai số hạng này, khi i = m và khi i = m-1, as;
Từ biểu thức trên, chúng ta có thể thấy khi giá trị của m thay đổi từ 1 đến n, tổ hợp được tạo ra này sẽ bao gồm tất cả các số hạng từ i = 1 đến i = n, nhưng không có i = 0 trong số hạng đầu tiên và i = 1 trong số hạng thứ hai bằng;
Do đó, đạo hàm kết quả của (n + 1) bậc của tích hai hàm được cho bởi;
Xem thêm:
