Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Định lý Leibnitz là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Định lý Leibnitz về cơ bản là quy tắc Leibnitz được xác định cho đạo hàm của phản đạo hàm. Theo quy tắc, đạo hàm bậc n của tích hai hàm có thể được biểu diễn với sự trợ giúp của công thức. Các hàm có thể có chức năng đã cho dưới dạng một đạo hàm được gọi là các đạo hàm ngược (hoặc nguyên hàm) của hàm. Công thức cung cấp tất cả các đạo hàm này được gọi là tích phân không xác định của hàm, và quá trình tìm kiếm các đạo hàm như vậy được gọi là tích phân. Bây giờ chúng ta hãy thảo luận ở đây về công thức và chứng minh của quy tắc Leibnitz.

Công thức Định lý Leibnitz

Giả sử có hai hàm u (t) và v (t) có đạo hàm đến bậc n. Bây giờ chúng ta hãy xem xét đạo hàm của tích của hai hàm này.

Đạo hàm đầu tiên có thể được viết là;

(uv) ‘= u’v + uv’

Bây giờ nếu chúng ta phân biệt biểu thức trên một lần nữa, chúng ta nhận được đạo hàm cấp hai;

(uv) ”

= [(uv) ‘]’

= (u’v + uv ‘)’

= (u’v) ‘+ (uv’) ‘

= u′′v + u′v ′ + u ′ v ′ + uv ′ ′

= u′′v + 2u′v ′ + uv ′ ′

Tương tự, chúng ta có thể tìm thấy đạo hàm cấp ba;

(uv) ′ ′ ′

= [(uv) ′ ′] ′

= (u′′v + 2u′v ′ + uv ′ ′) ′

= (u′′v) ′ + (2u′v ′) ′ + (uv ′ ′) ′

= u ′ ′ ′ v + u′′v ′ + 2u′′v ′ + 2u′v ′ ′ + u′v ′ ′ + uv ′ ′ ′

= u ′ ′ ′ v + 3u′′v ′ + 3u′v ′ ′ + uv ′ ′ ′

Bây giờ nếu chúng ta so sánh các biểu thức này, nó được thấy rất giống với khai triển nhị thức được nâng lên thành số mũ. Nếu chúng ta xem xét các số hạng có số mũ 0, u 0 và v 0 tương ứng với chính các hàm u và v, chúng ta có thể tạo ra công thức cho tích đạo hàm bậc n của hai hàm, theo cách đó;

Định lý Leibnitz

Công thức này được gọi là công thức Quy tắc Leibniz và có thể được chứng minh bằng quy nạp.

Chứng minh định lý Leibnitz

Giả sử rằng các hàm u (t) và v (t) có đạo hàm bậc (n + 1). Bằng quan hệ lặp lại, chúng ta có thể biểu diễn đạo hàm của (n + 1) bậc theo cách sau:

Định lý Leibnitz bậc thứ (n + 1)

Sau khi phân biệt, chúng tôi nhận được;

Chứng minh định lý Leibnitz

Tổng ở phía bên phải có thể được kết hợp với nhau để tạo thành một tổng duy nhất, vì các giới hạn cho cả hai tổng là như nhau. Bây giờ, chúng ta hãy lấy một chỉ số trung gian sao cho 1≤m≤n. Vì vậy, khi i = m, thì số hạng đầu tiên có thể được viết là;

Định lý Leibnitz Chứng minh-Số hạng thứ nhất (i = m)

Số hạng thứ hai khi i = m-1 sẽ là;

Chứng minh Định lý Leibnitz - số hạng thứ hai

Khi thêm hai thuật ngữ này, chúng tôi nhận được;

Chứng minh Định lý Leibnitz - Thêm hai số hạng

Chúng tôi biết từ khái niệm tổ hợp rằng;

tổ hợp

Dựa trên khái niệm trên, chúng ta có thể viết tổng của hai số hạng này, khi i = m và khi i = m-1, as;

Quy tắc Leibnitz theo tổ hợp

Từ biểu thức trên, chúng ta có thể thấy khi giá trị của m thay đổi từ 1 đến n, tổ hợp được tạo ra này sẽ bao gồm tất cả các số hạng từ i = 1 đến i = n, nhưng không có i = 0 trong số hạng đầu tiên và i = 1 trong số hạng thứ hai bằng;

Số hạng đầu tiên khi tôi = 0

Số hạng thứ hai khi i = 1

Do đó, đạo hàm kết quả của (n + 1) bậc của tích hai hàm được cho bởi;

Công thức Leibnitz

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x