Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Hướng dẫn định lý nhân tố đơn giản, dễ hiểu nhất

Định lý Nhân tố – Phương pháp & Ví dụ

Đa thức là một biểu thức đại số có một hoặc nhiều số hạng, trong đó hằng số và biến số được phân tách bằng một phép cộng hoặc một dấu trừ.

Dạng tổng quát của đa thức là ax n  + bx n-1  + cx n-2  +…. + kx + l, trong đó mỗi biến có một hằng số đi kèm như hệ số của nó.

Bây giờ bạn đã hiểu về cách sử dụng Định lý Phần dư để tìm phần dư của đa thức mà không có phép chia thực tế, định lý tiếp theo cần xem xét trong bài viết này được gọi là Định lý Nhân tử .

Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý thừa số liên quan như thế nào với định lý phần dư và cách sử dụng định lý nhân tử và tìm nghiệm nguyên của một phương trình đa thức. Tuy nhiên, trước khi chuyển sang chủ đề này, chúng ta hãy xem xét lại các yếu tố là gì.

Trong toán học, thừa số là một số hoặc biểu thức chia một số hoặc biểu thức khác để nhận được một số nguyên không có dư. Nói cách khác, một thừa số chia một số hoặc một biểu thức khác bằng cách để lại số 0 như một phần dư.

Ví dụ, 5 là thừa số của 30 vì khi chia 30 cho 5, thương là 6 là một số nguyên và phần dư là 0. Hãy xem xét một trường hợp khác, trong đó 30 chia cho 4 được 7,5. Trong trường hợp này, 4 không phải là thừa số của 30 vì khi chia 30 cho 4, chúng ta nhận được một số không phải là số nguyên. 7,5 giống như cách nói 7 và phần dư là 0,5.

Định lý Nhân tố - Phương pháp & Ví dụ
Định lý Nhân tố – Phương pháp & Ví dụ

Định lý thừa số là gì?

Xét đa thức f (x) bậc n ≥ 1. Nếu số hạng ‘a’ là một số thực bất kỳ thì ta có thể phát biểu rằng;

(x – a) là một thừa số của f (x), nếu f (a) = 0.

Chứng minh định lý thừa số

Cho rằng f (x) là một đa thức chia hết cho (x – c), nếu f (c) = 0 thì,

⟹ f (x) = (x – c) q (x) + f (c)

⟹ f (x) = (x – c) q (x) + 0

⟹ f (x) = (x – c) q (x)

Do đó, (x – c) là một nhân tử của đa thức f (x).

Do đó, Định lý Nhân tử là một trường hợp đặc biệt của Định lý Phần dư, phát biểu rằng đa thức f (x) có nhân tử x – a , nếu và chỉ khi, a là một căn tức là f (a) = 0.

Định lý thừa số là gì?
Định lý thừa số là gì?

Làm thế nào để sử dụng Định lý Nhân tố?

Hãy xem một vài ví dụ dưới đây để biết cách sử dụng Định lý Nhân tố.

Xem thêm:

Hướng dẫn cách chia đa thức hiệu quả nhất hiện nay

Cách cộng và Trừ đa thức như thế nào? Chi tiết cách thực hiện

ví dụ 1

Tìm nghiệm nguyên của đa thức f (x) = x 2  + 2x – 15

Giải pháp

f (x) = 0

2  + 2x – 15 = 0

(x + 5) (x – 3) = 0

(x + 5) = 0 hoặc (x – 3) = 0

x = -5 hoặc x = 3

Ta có thể kiểm tra xem (x – 3) và (x + 5) có phải là nhân tử của đa thức x 2  + 2x – 15 hay không bằng cách áp dụng Định lý nhân tử như sau:

Nếu x = 3

Thay x = 3 vào phương trình đa thức /.

f (x) = x 2  + 2x – 15

⟹ 3 2  + 2 (3) – 15

⟹ 9 + 6 – 15

⟹ 15 – 15

f (3) = 0

Và nếu x = -5

Thay các giá trị của x vào phương trình f (x) = x 2  + 2x – 15

⟹ (-5) 2  + 2 (-5) – 15

⟹ 25 – 10 – 15

⟹ 25 – 25

f (-5) = 0

Vì phần dư bằng 0 trong hai trường hợp, do đó (x – 3) và (x + 5) là nhân tử của đa thức x 2  + 2x -15

Làm thế nào để sử dụng Định lý Nhân tố?
Làm thế nào để sử dụng Định lý Nhân tố?

Ví dụ 2

Tìm nghiệm nguyên của đa thức 2x 2  – 7x + 6 = 0.

Giải pháp

Đầu tiên hãy phân tích phương trình.

2x 2  – 7x + 6 = 0 ⟹ 2x 2  – 4x – 3x + 6 = 0

⟹ 2x (x – 2) – 3 (x – 2) = 0

⟹ (x – 2) (2x – 3) = 0

⟹ x – 2 = 0 hoặc 2x – 3 = 0

⟹ x = 2 hoặc x = 3/2

Do đó, các gốc là x = 2, 3/2.

Ví dụ 3

Kiểm tra xem x + 5 có phải là nhân tử của 2x 2  + 7x – 15 hay không.

Giải pháp

x + 5 = 0

x = -5

Bây giờ thay x = -5 vào phương trình đa thức.

f (-5) = 2 (-5) 2  + 7 (-5) – 15

= 50 – 35 – 15

= 0

Do đó, x + 5 là nhân tử của 2x 2  + 7x – 15.

Ví dụ 4

Xác định x + 1 có phải là nhân tử của đa thức 3x 4  + x 3  – x 2  + 3x + 2 hay không

Giải pháp

Cho x + 1;

x + 1 = 0

x = -1

Thay x = -1 vào phương trình; 3x 4  + x 3  – x 2  + 3x + 2.
⟹ 3 (–1) 4 + (–1) 3 – (–1) 2 +3 (–1) + 2
= 3 (1) + (–1) – 1 – 3 + 2 = 0
Do đó x + 1 là nhân tử của 3x 4  + x 3  – x 2  + 3x + 2

Ví dụ 5

Kiểm tra xem 2x + 1 có phải là nhân tử của đa thức 4x 3  + 4x 2  – x – 1 hay không

Giải pháp

⟹ 2x + 1 = 0

∴ x = -1/2

Thay x = -1/2 vào phương trình 4x 3  + 4x 2  – x – 1.

⟹ 4 (-1/2) 3  + 4 (-1/2) 2  – (-1/2) – 1

= -1/2 + 1 + ½ – 1

= 0

Vì phần dư = 0 nên 2x + 1 là nhân tử của 4x 3  + 4x 2  – x – 1

Ví dụ 6

Kiểm tra xem x + 1 có phải là nhân tử của x 6  + 2x (x – 1) – 4 hay không

Giải pháp

x + 1 = 0

x = -1

Bây giờ thay x = -1 vào phương trình đa thức x 6  + 2x (x – 1) – 4
⟹ (–1) 6 + 2 (–1) (–2) –4 = 1
Do đó, x + 1 không phải là nhân tử của x 6  + 2x (x – 1) – 4

Câu hỏi thực hành

  1. Sử dụng định lý thừa số để kiểm tra xem (x – 4) có phải là nhân tử của x  3  – 9 x  2  + 35 x – 60 hay không.
  2. Tìm các số không của đa thức x 2  – 8 x – 9.
  3. Sử dụng định lý thừa số để chứng minh rằng x + 2 là nhân tử của x 3 + 4x 2 + x – 6.
  4. X + 4 có phải là nhân tử của 2x 3 – 3x 2 – 39x + 20 không.
  5. Tìm giá trị của k biết rằng x + 2 là một thừa số của phương trình 2x 3 -5x 2 + kx + k.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy & liên thông vb2 các ngành Y Dược

Du học & XKLD Hướng tới 1 tương lai phát triển hơn

ĐỌC TRUYỆN HAY NHẤT

Bài viết mới nhất

https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/04/2.jpg
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x