Yếu tố theo nhóm – Làm thế nào để nhân tử của tam thức bằng cách nhóm?
24 Tháng Hai, 2021Contents Yếu tố theo nhóm – Phương pháp & Ví dụ Bây giờ bạn đã học cách nhân tử...
Contents
Đa thức là một biểu thức đại số có một hoặc nhiều số hạng, trong đó hằng số và biến số được phân tách bằng một phép cộng hoặc một dấu trừ.
Dạng tổng quát của đa thức là ax n + bx n-1 + cx n-2 +…. + kx + l, trong đó mỗi biến có một hằng số đi kèm như hệ số của nó.
Bây giờ bạn đã hiểu về cách sử dụng Định lý Phần dư để tìm phần dư của đa thức mà không có phép chia thực tế, định lý tiếp theo cần xem xét trong bài viết này được gọi là Định lý Nhân tử .
Chúng ta sẽ nghiên cứu định lý thừa số liên quan như thế nào với định lý phần dư và cách sử dụng định lý nhân tử và tìm nghiệm nguyên của một phương trình đa thức. Tuy nhiên, trước khi chuyển sang chủ đề này, chúng ta hãy xem xét lại các yếu tố là gì.
Trong toán học, thừa số là một số hoặc biểu thức chia một số hoặc biểu thức khác để nhận được một số nguyên không có dư. Nói cách khác, một thừa số chia một số hoặc một biểu thức khác bằng cách để lại số 0 như một phần dư.
Ví dụ, 5 là thừa số của 30 vì khi chia 30 cho 5, thương là 6 là một số nguyên và phần dư là 0. Hãy xem xét một trường hợp khác, trong đó 30 chia cho 4 được 7,5. Trong trường hợp này, 4 không phải là thừa số của 30 vì khi chia 30 cho 4, chúng ta nhận được một số không phải là số nguyên. 7,5 giống như cách nói 7 và phần dư là 0,5.
Xét đa thức f (x) bậc n ≥ 1. Nếu số hạng ‘a’ là một số thực bất kỳ thì ta có thể phát biểu rằng;
(x – a) là một thừa số của f (x), nếu f (a) = 0.
Chứng minh định lý thừa số
Cho rằng f (x) là một đa thức chia hết cho (x – c), nếu f (c) = 0 thì,
⟹ f (x) = (x – c) q (x) + f (c)
⟹ f (x) = (x – c) q (x) + 0
⟹ f (x) = (x – c) q (x)
Do đó, (x – c) là một nhân tử của đa thức f (x).
Do đó, Định lý Nhân tử là một trường hợp đặc biệt của Định lý Phần dư, phát biểu rằng đa thức f (x) có nhân tử x – a , nếu và chỉ khi, a là một căn tức là f (a) = 0.
Hãy xem một vài ví dụ dưới đây để biết cách sử dụng Định lý Nhân tố.
Xem thêm:
Hướng dẫn cách chia đa thức hiệu quả nhất hiện nay
Cách cộng và Trừ đa thức như thế nào? Chi tiết cách thực hiện
ví dụ 1
Tìm nghiệm nguyên của đa thức f (x) = x 2 + 2x – 15
Giải pháp
f (x) = 0
x 2 + 2x – 15 = 0
(x + 5) (x – 3) = 0
(x + 5) = 0 hoặc (x – 3) = 0
x = -5 hoặc x = 3
Ta có thể kiểm tra xem (x – 3) và (x + 5) có phải là nhân tử của đa thức x 2 + 2x – 15 hay không bằng cách áp dụng Định lý nhân tử như sau:
Nếu x = 3
Thay x = 3 vào phương trình đa thức /.
f (x) = x 2 + 2x – 15
⟹ 3 2 + 2 (3) – 15
⟹ 9 + 6 – 15
⟹ 15 – 15
f (3) = 0
Và nếu x = -5
Thay các giá trị của x vào phương trình f (x) = x 2 + 2x – 15
⟹ (-5) 2 + 2 (-5) – 15
⟹ 25 – 10 – 15
⟹ 25 – 25
f (-5) = 0
Vì phần dư bằng 0 trong hai trường hợp, do đó (x – 3) và (x + 5) là nhân tử của đa thức x 2 + 2x -15
Ví dụ 2
Tìm nghiệm nguyên của đa thức 2x 2 – 7x + 6 = 0.
Giải pháp
Đầu tiên hãy phân tích phương trình.
2x 2 – 7x + 6 = 0 ⟹ 2x 2 – 4x – 3x + 6 = 0
⟹ 2x (x – 2) – 3 (x – 2) = 0
⟹ (x – 2) (2x – 3) = 0
⟹ x – 2 = 0 hoặc 2x – 3 = 0
⟹ x = 2 hoặc x = 3/2
Do đó, các gốc là x = 2, 3/2.
Ví dụ 3
Kiểm tra xem x + 5 có phải là nhân tử của 2x 2 + 7x – 15 hay không.
Giải pháp
x + 5 = 0
x = -5
Bây giờ thay x = -5 vào phương trình đa thức.
f (-5) = 2 (-5) 2 + 7 (-5) – 15
= 50 – 35 – 15
= 0
Do đó, x + 5 là nhân tử của 2x 2 + 7x – 15.
Ví dụ 4
Xác định x + 1 có phải là nhân tử của đa thức 3x 4 + x 3 – x 2 + 3x + 2 hay không
Giải pháp
Cho x + 1;
x + 1 = 0
x = -1
Thay x = -1 vào phương trình; 3x 4 + x 3 – x 2 + 3x + 2.
⟹ 3 (–1) 4 + (–1) 3 – (–1) 2 +3 (–1) + 2
= 3 (1) + (–1) – 1 – 3 + 2 = 0
Do đó x + 1 là nhân tử của 3x 4 + x 3 – x 2 + 3x + 2
Ví dụ 5
Kiểm tra xem 2x + 1 có phải là nhân tử của đa thức 4x 3 + 4x 2 – x – 1 hay không
Giải pháp
⟹ 2x + 1 = 0
∴ x = -1/2
Thay x = -1/2 vào phương trình 4x 3 + 4x 2 – x – 1.
⟹ 4 (-1/2) 3 + 4 (-1/2) 2 – (-1/2) – 1
= -1/2 + 1 + ½ – 1
= 0
Vì phần dư = 0 nên 2x + 1 là nhân tử của 4x 3 + 4x 2 – x – 1
Ví dụ 6
Kiểm tra xem x + 1 có phải là nhân tử của x 6 + 2x (x – 1) – 4 hay không
Giải pháp
x + 1 = 0
x = -1
Bây giờ thay x = -1 vào phương trình đa thức x 6 + 2x (x – 1) – 4
⟹ (–1) 6 + 2 (–1) (–2) –4 = 1
Do đó, x + 1 không phải là nhân tử của x 6 + 2x (x – 1) – 4