Định lý phần dư dễ nhất cho người mới làm quen

Định lý Phần dư – Phương pháp & Ví dụ

Đa thức là một biểu thức đại số có một hoặc nhiều số hạng, trong đó hằng số và biến số được phân tách bằng một phép cộng hoặc một dấu trừ.

Dạng tổng quát của đa thức là ax ⁿ  + bx ^n-1  + cx ^n-2  +…. + kx + l, trong đó mỗi biến có một hằng số đi kèm như hệ số của nó. Các loại đa thức khác nhau bao gồm; nhị thức, tam thức và tứ thức.

Ví dụ về đa thức là ; 3x + 1, x ²  + 5xy – ax – 2ay, 6x ²  + 3x + 2x + 1, v.v.

Thủ tục chia một đa thức cho một đa thức khác có thể dài dòng và rườm rà. Ví dụ, phương pháp chia dài đa thức và phép chia tổng hợp bao gồm một số bước trong đó người ta có thể dễ dàng mắc sai lầm và do đó nhận được một câu trả lời sai.

Hãy cùng xem qua một ví dụ về phương pháp chia dài đa thức và phép chia tổng hợp.

1. Chia 10x⁴ + 17x³ – 62x² + 30x – 3 cho (2x² + 7x – 1) bằng phương pháp chia dài đa thức;

Giải pháp

1. Chia 2x ³ + 5x ² + 9 cho x + 3 bằng phương pháp tổng hợp.

Giải pháp

Đảo ngược dấu của hằng số trong ước số x + 3 từ 3 thành -3 và đưa nó xuống dưới.

_____________________
x ₊ 3 | 2x ³  + 5x ² + 0x + 9

-3 | 2 5 0 9

Giảm hệ số của số hạng đầu tiên trong cổ tức. Đây sẽ là thương số đầu tiên của chúng tôi

-3 | 2 5 0 9
________________________
2

Nhân -3 với 2 và thêm 5 vào tích để được -1. Đưa -1 xuống;

-3 | 2 5 0 9
-6
________________________
2 -1

Nhân -3 với -1 và thêm 0 vào kết quả để được 3. Đưa 3 xuống.

-3 | 2 5 0 9
-6 3
________________________
2 -1 3

Nhân -3 với 3 và thêm -9 vào kết quả để được 0.

-3 | 2 5 0
9-6 3 -9
________________________
2 -1 3 0

Do đó, (2x ³ + 5x ² + 9) ÷ (x + 3) = 2x ² – x + 3

Để tránh tất cả những khó khăn này khi chia đa thức bằng cách sử dụng phép chia dài hoặc phép chia tổng hợp, Định lý Phần dư được áp dụng.

Định lý phần dư rất hữu ích vì nó giúp chúng ta tìm phần dư mà không cần chia đa thức thực tế.

Hãy xem xét ví dụ một số 20 bị chia cho 5; 20 ÷ 5 = 4 Trong trường hợp này không có số dư hoặc số dư bằng 0, 2o là số bị chia khi 5 và 4 lần lượt là số chia và thương. Điều này có thể được diễn đạt như sau:

Cổ tức = (Số chia × Thương số) + Phần còn lại

tức là 20 = (5 x 4) + 0

Hãy xem xét một trường hợp khác trong đó một đa thức x ²  + x – 1 chia cho x + 1 được 4x-3 làm thương và 2 là phần dư. Điều này cũng có thể được biểu thị là:

4x ²  + x – 1 = (x + 1) * (4x-3) + 2

Xem thêm:

Hướng dẫn định lý nhân tố đơn giản, dễ hiểu nhất

Định lý nhị thức dễ hiểu ai cũng học được

Định lý Phần dư là gì?

Cho hai đa thức p (x) và g (x), trong đó p (x)> g (x) về bậc và g (x) ≠ 0, nếu p (x) chia cho g (x) được q (x) dưới dạng thương và r (x) là phần dư, khi đó chúng ta có thể biểu diễn câu lệnh này dưới dạng:

Cổ tức = (Số chia × Thương số) + Phần còn lại

p (x) = g (x) * q (x) + r (x)

p (x) = (x – a) * q (x) + r (x),

Nhưng nếu r (x) = r

p (x) = (x – a) * q (x) + r

Sau đó;

p (a) = (a – a) * q (a) + r

p (a) = (0) * q (a) + r

p (a) = r

Vì vậy, theo Định lý Phần dư , khi một đa thức, f (x), bị chia cho một đa thức tuyến tính, x – a, phần dư của quá trình chia tương đương với f (a).

Làm thế nào để sử dụng Định lý Phần dư?

Hãy cùng xem một vài ví dụ dưới đây để biết cách sử dụng Định lý Phần dư.

ví dụ 1

Tìm phần dư khi chia đa thức x ³ – 2x ² + x + 1 cho x – 1.

Giải pháp

p (x) = x ³ – 2x ² + x + 1

Chia số bị chia cho 0 được;

x – 1 = 0

x = 1

Thay giá trị của x vào đa thức.

⟹ p (1) = (1) ³  – 2 (1) ²  + 1 + 1

= 2

Do đó, phần dư là 2.

Ví dụ 2

Phần dư là bao nhiêu khi chia 2x ² – 5x −1 cho x – 3

Giải pháp

Cho số chia = x-3

∴ x – 3 = 0

x = 3

Thay thế giá trị của x trong cổ tức.

⟹ 2 (3) ² – 5 (3) −1

= 2 x 9 – 5 x 3 – 1
= 18 – 15 – 1
= 2

Ví dụ 3

Tìm phần dư khi 2x ² – 5x – 1 chia hết cho x – 5.

Giải pháp

x – 5 = 0

∴ x = 5

Thay giá trị x = 5 vào cổ tức.

⟹ 2 (5) ² – 5 (5) – 1 = 2 x 25 – 5 x 5 – 1
= 50 – 25 −1
= 24

 Ví dụ 4

Số dư là bao nhiêu khi (x ³  – ax ²  + 6x – a) chia hết cho (x – a)?

Giải pháp

Được chia cổ tức; p (x) = x ³  – ax ²  + 6x – a

Số chia = x – a

∴ x – a = a

x = a

Thay x = a vào cổ tức

⟹ p (a) = (a) ³  – a (a) ²  + 6a – a

= a ³  – a ³  + 6a – a

= 5a

Ví dụ 5

Phần dư của (x ⁴  + x ³  – 2x ²  + x + 1) ÷ (x – 1).

Giải pháp

Cho số bị chia = p (x) = x ⁴  + x ³  – 2x ²  + x + 1

Số chia = x – 1

∴ x – 1 = 0

x = 1.

Bây giờ thay x = 1 vào cổ tức.

⟹ p (1) = (1) ⁴  + (1) ³  – 2 (1) ²  + 1 + 1 = 1 + 1 – 2 + 1 + 1 = 2.

Do đó, 2 là phần còn lại.

Ví dụ 6

Tìm phần dư của (3x ²  – 7x + 11) / (x – 2).

Giải pháp

Cho số bị chia = p (x) = 3x ²  – 7x + 11;

Số chia = x – 2

∴x – 2 = 0

x = 2

Thay x = 2 vào cổ tức

p (x) = 3 (2) ² – 7 (2) + 11

= 12 – 14 + 11

= 9

Ví dụ 7

Tìm xem 3x ³  + 7x có phải là bội của 7 + 3x không

Giải pháp

Lấy p (x) = 3x ³  + 7x làm số bị chia và 7 + 3x là số bị chia.

Bây giờ hãy áp dụng Định lý Phần dư;

⟹ 7 + 3x = 0

x = -7/3

Thay x = -7/3 vào cổ tức.

⟹ p (x) = 3x ³  + 7x = 3 (-7/3) ³  + 7 (-7/3)

⟹-3 (343/27) – 49/3

⟹ – (345 – 147) / 9

= -490/9

Vì phần dư – 490/9 ≠ 0, do đó 3x ³  + 7x KHÔNG phải là bội số của 7 + 3x

Ví dụ 8

Sử dụng định lý Phần dư để kiểm tra xem 2x + 1 có phải là nhân tử của 4x ³  + 4x ²  – x – 1 hay không

Giải pháp

Cho số bị chia là 4x ³  + 4x ²  – x – 1 và số bị chia là 2x + 1.

Bây giờ, hãy áp dụng Định lý;

⟹ 2x + 1 = 0

∴ x = -1/2

Thay x = -1/2 vào cổ tức.

= 4x ³  + 4x ²  – x – 1 ⟹ 4 (-1/2) ³  + 4 (-1/20 ²  – (-1/2) – 1

= -1/2 + 1 + ½ – 1

= 0

Vì phần dư = 0 nên 2x + 1 là nhân tử của 4x ³  + 4x ²  – x – 1

Câu hỏi thực hành

1. Cần thêm gì vào đa thức x ² + 5 để nó còn lại 3 là phần dư khi chia cho x + 3.
2. Tìm phần dư khi chia đa thức 4x ³ – 3x ²  + 2x – 4 cho x + 1.
3. Kiểm tra xem x- 2 có phải là nhân tử của đa thức x ⁶ + 3x ²  + 10 hay không.
4. Giá trị của y là bao nhiêu khi chia yx ³ + 8x ²  – 4x + 10 cho x +1, dư -3?
5. Sử dụng Định lý Phần dư để kiểm tra xem x ⁴ – 3x ² + 4x -12 có phải là bội của x – 3 hay không.