Hãy xem xét các ví dụ, phép nhân nghịch đảo của 3 là 1/3, của -1/3 là -3, của 8 là 1/8 và của 4/7 là -7/4. Nhưng nghịch đảo nhân của 0 là vô hạn, vì 1/0 = vô cùng. Vì vậy, không có nghịch đảo cho một số ‘0’. Trong khi phép nhân nghịch đảo của 1 chỉ là 1.

Định nghĩa

Nghịch đảo nhân của một số với n bất kỳ chỉ đơn giản là 1 / n. Nó được ký hiệu là:

Nó còn được gọi là số nghịch đảo của một số và 1 được gọi là số nhân .

Tìm nghịch đảo nhân của số tự nhiên thì dễ nhưng đối với số phức và số thực thì khó.

Ví dụ: nghịch đảo nhân của 3 là 1/3, của 47 là 1/47, của 13 là 1/13, của 8 là 1/8, v.v., trong khi nghịch đảo của 0 sẽ cho giá trị vô hạn hoặc 1/0 = ∞ . Bây giờ để kiểm tra xem nghịch đảo của một số có đúng hay không, chúng ta có thể thực hiện phép nhân, như vậy;

• 3 x 1/3 = 1
• 47 x 1/47 = 1
• 13 x 1/13 = 1
• 8 x 1/8 = 1

Do đó, bạn có thể thấy trong tất cả bốn trường hợp trên, chúng ta nhận được số nhận dạng 1. Vì vậy, nó đã được chứng minh.

Phép nhân nghịch đảo của số tự nhiên

Nếu x là một số tự nhiên bất kỳ (0,1,2,3,4,5,6,7,…) thì phép nhân nghịch đảo của x sẽ là 1 / x. Ví dụ, nghịch đảo nhân của 5 là 1/5.

Thuộc tính nghịch đảo nhân

Tích của một số và phép nhân nghịch đảo của nó là 1.

x. x ^-1 = 1

Ví dụ, hãy xem xét số 13.

Nghịch đảo nhân của 13 là 1/13.

Theo tài sản,

13. (1/13) = 1

Do đó đã được chứng minh.

Phép nhân Nghịch đảo của Phân số

Nếu p / q là một phân số thì nghịch đảo nhân của p / q phải sao cho khi nhân với phân số thì kết quả sẽ là 1. Do đó, q / p là nghịch đảo nhân của phân số p / q .

p / qxq / p = 1

Ví dụ: 2/7 x 7/2 = 1

Ví dụ:

• Mul. Nghịch đảo của 2/7 là 7/2: 2/7 x 7/2 = 1
• Mul. Nghịch đảo của ½ là 2: ½ x 2 = 1
• Mul. Nghịch đảo của ¾ là 4/3: ¾ x 4/3 = 1
• Mul. Nghịch đảo của 2/9 là 9/2: 2/9 x 9/2 = 1

Phép nhân Nghịch đảo của Phân số Đơn vị

1/2, 1/3, 1/4, 1/5, v.v. được coi là phân số đơn vị vì chúng đều có tử số là 1. Do đó, phép nhân nghịch đảo của các phân số đơn vị này sẽ là giá trị có ở mẫu số.

• 1/2 x 2 = 1
• 1/3 x 3 = 1
• 1/4 x 4 = 1
• 1/5 x 5 = 1

Nghịch đảo nhân của phân số hỗn hợp

Để tìm nghịch đảo nhân của phân số hỗn hợp, trước hết hãy chuyển nó thành một phân số thích hợp. Hãy để chúng tôi xem một số ví dụ.

• 2 ¹ / ₂  = 5/2: ⅖
• 3 ² / ₃ = 11/3: 3/11

Modulo nghịch đảo nhân

Hãy để chúng tôi xem một số phương pháp để chứng minh mô-đun đa số nghịch đảo.

Phương pháp 1: Đối với hai số nguyên đã cho là ‘a’ và ‘m’, hãy tìm nghịch đảo nhân môđun của ‘a’ theo môđun ‘m’.

Nghịch đảo nhân mô-đun của một số nguyên ‘x’ sao cho.

ax ≡ 1 (mod m)

Giá trị của x phải nằm trong khoảng {0, 1, 2,… m-1}, tức là nó phải nằm trong vành của modulo nguyên m.

Lưu ý rằng, tồn tại nghịch đảo mô-đun, đó là “một mô-đun m” nếu và chỉ khi a và m tương đối nguyên tố.

gcd (a, m) = 1.

Phương pháp 2:  Nếu a và m là nguyên tố, cũng có thể tìm thấy môđun nghịch đảo nhân bằng cách sử dụng Thuật toán Euclid mở rộng

Từ thuật toán Euclid mở rộng, sử dụng hai số nguyên để nói ‘a’ và ‘b’, tìm gcd của chúng và cũng tìm ‘x’ và ‘y’ sao cho

ax + by = gcd (a, b)

Để tìm số nghịch đảo của ‘a’ dưới ‘m’, hãy thay b = m vào công thức trên. Chúng ta biết rằng nếu a và m tương đối nguyên tố thì giá trị của gcd được coi là 1.

ax + my = 1

Lấy modulo m ở cả hai bên, chúng tôi nhận được

ax + my = 1 (mod m)

Chúng ta có thể loại bỏ số hạng thứ hai ở bên trái là ‘my (mod m)’ vì đối với một số nguyên y sẽ bằng 0. Vì vậy, nó trở thành,

ax ≡ 1 (mod m)

Vì vậy, giá trị của x có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng thuật toán Euclide mở rộng, là phép nhân nghịch đảo của a.

Nó chủ yếu được sử dụng trong các phương trình để đơn giản hóa. Chủ yếu nó được sử dụng để hủy bỏ các điều khoản. Hãy nhớ rằng nếu bạn muốn tìm nghịch đảo nhân của một số thì hãy lấy nghịch đảo của một số.

Nghịch đảo nhân của số phức

Tìm nghịch đảo khá khó đối với số phức và số thực. Khi bạn xem xét cả hai con số, có một sự tương đồng đáng kể. Tuy nhiên, khi bạn xử lý các biểu thức hữu tỉ, có một trường hợp có một căn (hoặc) căn bậc hai ở phần mẫu số của biểu thức.

Hãy xem xét một ví dụ,

2 / √3 +2

Các gốc ở mẫu số làm cho phân số phức tạp hơn. Để loại bỏ căn ở mẫu số, cần phải thao tác với phân số. Để đơn giản hóa phân số, hãy nhân toàn bộ phân số với liên hợp. Nó có nghĩa là các liên từ giống như đối của chúng, nhưng các dấu hiệu giữa các phần phải khác nhau.

Do đó, nó trở thành,

23√+ 2×3√– 23√– 2= 23√– 43 – 4

= – ( 23-√– 4 )

Nếu có bất kỳ dấu trừ nào bên trong phần căn, thì lấy dấu trừ bên ngoài và thay thế bằng chữ i.

Ví dụ: 4 + √-3 là một số phức.

Nó có thể được viết là;

4 + i √3

Trong đó 4 là số thực và i √3 là số ảo. Bây giờ để tìm nghịch đảo của số phức này, chúng ta phải nhân và chia nó cho 4-i√3, sao cho:

4 + i √3 x [(4-i√3) / (4-i√3)]

[4 ² – (i √3) ² ] / 4-i√3(16 – i ² 3) / 4 – i√3

Vì,  i ² = -1

Vì thế,

16 – (-3) / 4- i√3

19 / 4- i√3 là nghịch đảo của 4 + i√3.

Các ví dụ đã giải quyết

Ví dụ 1: Tìm nghịch đảo nhân của -5

Lời giải:  Số nghịch đảo của -5 là -1 / 5

Kiểm tra : Số x Nghịch đảo nhân = 1

(-5) x (-1/5) = 1

1 = 1

Vì vậy, nghịch đảo nhân của -5 là -1 / 5.

Ví dụ 2: Tìm số nghịch đảo của 7/74

Giải:  Phép nhân nghịch đảo của 7/74 = (1/7) / (1/74)

= 74/7

Kiểm tra : Số x Nghịch đảo nhân = 1

(7/74) x (74/7) = 1

Do đó, giải pháp là 74/7.

Ví dụ 3: Tìm nghịch đảo của x ²

Lời giải: Số nghịch đảo của x ²  là 1 / x ² hoặc x ^-2

Kiểm tra: x ²  ×  x ^-2 = 1

1 = 1

Ví dụ 4: Số nghịch đảo của 11/33 là gì.

Bài giải: Số nghịch đảo của 3/11 là 33/11.

Nếu chúng ta đơn giản hóa hơn nữa. chúng tôi nhận được;

11/33 = 1/3

Vì vậy, nghịch đảo của 1/3 là 3.

Bởi vì, 1/3  × 3 = 1. Do đó nó thỏa mãn tính chất nghịch đảo.

Để biết thêm thông tin về phép nhân nghịch đảo và các bài báo liên quan đến toán học khác, hãy đăng ký với BYJU’S và xem các video tương tác.