Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Giới hạn và liên tục là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Giới hạn và khái niệm liên tục là một trong những chủ đề quan trọng nhất trong giải tích. Sự kết hợp của những khái niệm này đã được giải thích rộng rãi trong Lớp 11 và Lớp 12. Giới hạn được định nghĩa là một số được hàm tiếp cận khi biến của một hàm độc lập tiếp cận một giá trị cụ thể. Ví dụ, đối với một hàm f (x) = 4x, bạn có thể nói rằng “Giới hạn của f (x) khi x tiến tới 2 là 8”. Về mặt hình tượng, nó được viết là;

lim→ 28

Tính liên tục là một chủ đề phổ biến khác trong giải tích. Phương pháp dễ dàng để kiểm tra tính liên tục của một hàm là kiểm tra xem một cây bút có thể theo dõi đồ thị của một hàm mà không cần nhấc bút ra khỏi giấy hay không. Khi bạn thực hiện tính toán trước và giải tích , một định nghĩa khái niệm gần như là đủ , nhưng đối với cấp độ cao hơn, bạn cần phải giải thích kỹ thuật. Bạn có thể học cách xác định tính liên tục tốt hơn và chính xác bằng cách sử dụng các giới hạn.

Định nghĩa liên tục

Nhiều hàm có đặc tính là chúng có thể theo dõi đồ thị của chúng bằng bút chì mà không cần nhấc bút chì khỏi bề mặt giấy. Các loại chức năng này được gọi là liên tục. Nói một cách trực quan, một hàm số là liên tục tại một điểm cụ thể nếu không có sự phá vỡ nào trong đồ thị của nó tại điểm đó. Một định nghĩa chính xác về tính liên tục của một hàm thực thường được cung cấp trong khóa học nhập môn giải tích dưới dạng ý tưởng của một giới hạn. Đầu tiên, một hàm f với biến x liên tục tại điểm “a” trên đường thực, nếu giới hạn của f (x), khi x tiến tới điểm “a”, bằng giá trị của f (x) tại “A”, tức là, f (a). Thứ hai, hàm (nói chung) là liên tục, nếu nó liên tục tại mọi điểm trong miền của nó. 

Về mặt toán học, tính liên tục có thể được định nghĩa như sau:

Một hàm được cho là liên tục tại một điểm cụ thể nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn.

  1. f (a) được xác định
  2. lim→ af) tồn tại
  3. lima+f=limaff)

Như đã đề cập trước đây, một hàm được cho là liên tục nếu bạn có thể theo dõi đồ thị của nó mà không cần nhấc bút ra khỏi giấy. Nhưng một chức năng được cho là không liên tục khi nó có bất kỳ khoảng trống nào ở giữa.

Hình dưới đây cho thấy đồ thị của một hàm số liên tục .

Liên tục

Các loại gián đoạn

Về cơ bản có hai loại gián đoạn:

  • Sự gián đoạn vô hạn
  • Gián đoạn nhảy

Sự gián đoạn vô hạn

Một nhánh của sự gián đoạn trong đó, một tiệm cận đứng có mặt tại x = a và f (a) không được xác định. Điều này còn được gọi là Asymptotic Discontinuity. Nếu một hàm có các giá trị ở cả hai phía của một tiệm cận, thì nó không thể được kết nối, vì vậy nó không liên tục tại tiệm cận. Điều này có thể được hiển thị bằng cách sử dụng đồ thị dưới đây .

Sự gián đoạn vô hạn

Gián đoạn nhảy

Một nhánh của sự gián đoạn trong đó lima+flimaf), nhưng cả hai giới hạn đều hữu hạn. Đây cũng được gọi là sự gián đoạn đơn giản hoặc sự liên tục của loại thứ nhất. Biểu diễn đồ họa của sự gián đoạn bước nhảy được đưa ra dưới đây .

Gián đoạn nhảy

Ngừng tích cực

Một nhánh của sự gián đoạn trong đó một hàm có  giới hạn hai phía được xác định trước tại x = a, nhưng f (x) là không xác định tại a hoặc giá trị của nó không bằng giới hạn tại a . Đây cũng được gọi là sự gián đoạn có thể tháo rời.

Về mặt đồ họa, điều này có thể được hiển thị như sau:

Ngừng tích cực

Định nghĩa giới hạn

Giới hạn của một hàm là một số mà một hàm đạt tới khi biến độc lập của hàm đạt một giá trị cho trước. Giá trị (nói một) mà hàm f (x) được gần tùy tiện như giá trị của biến độc lập x trở nên gần gũi tùy tiện để một cho giá trị “A” tượng trưng như f (x) = A.

Những điểm cần nhớ:

  • Nếu lim x → a-  f (x) là giá trị kỳ vọng của f tại x = a cho trước thì các giá trị của ‘f’ gần x bên trái của a. Giá trị này được gọi là  giới hạn bên trái của ‘f’ tại a.
  • Nếu lim x → a +  f (x) là giá trị kỳ vọng của f tại x = a cho trước thì các giá trị của ‘f’ gần x ở bên phải a. Giá trị này được gọi là giới hạn bên phải của f (x) tại a.
  • Nếu giới hạn bên phải và bên trái trùng nhau, ta nói giá trị chung là giới hạn của f (x) tại x = a và ký hiệu là lim x → a f (x).

Giới hạn một mặt

Giới hạn hoàn toàn dựa trên các giá trị của một hàm được lấy tại giá trị x lớn hơn hoặc nhỏ hơn một chút so với một giá trị cụ thể. Giới hạn hai mặt lim→ af)nhận các giá trị của x vừa lớn hơn vừa nhỏ hơn a . Giới hạn một phía từ bên trái limaf) hoặc từ bên phải limaf)chỉ nhận các giá trị của x nhỏ hơn hoặc lớn hơn a tương ứng.

Thuộc tính của giới hạn

  • Giới hạn của hàm được biểu diễn dưới dạng f (x) đạt đến  L vì x có xu hướng giới hạn a, sao cho; lim x → a f (x) = L
  • Giới hạn tổng của hai hàm số bằng tổng giới hạn của chúng, sao cho: lim x → a  [f (x) + g (x)] = lim x → a  f (x) + lim x → a  g (x)
  • Giới hạn của bất kỳ hàm hằng số nào là một số hạng không đổi, sao cho lim x → a  C = C
  • Giới hạn của tích của hằng số và hàm số bằng tích của hằng số và giới hạn của hàm số, sao cho: lim x → a  mf (x) = m lim x → a  f (x)
  • Quy tắc Thương số: lim x → a [f (x) / g (x)] = lim x → a f (x) / lim x → a g (x); nếu lim x → a g (x) ≠ 0

Các ví dụ

1). Tính toánlim→ – 23x2– )

Giải pháp:

Đầu tiên, sử dụng thuộc tính 2 để chia giới hạn thành ba giới hạn riêng biệt. Sau đó, sử dụng thuộc tính 1 để đưa các hằng số ra khỏi hai hằng số đầu tiên. Điều này mang lại,

lim→ – 23x2– ) =lim→ – 23x2+lim→ – 2lim→ – 2)

– 2)2– – )

= 12 – 10 – 9

= -7

2). Tìm giá trị của lim x → 3  [x (x + 2)].

Giải pháp: 

lim x → 3  [x (x + 2)] = 3 (3 + 2) = 3 x 5 = 15

Câu hỏi thường gặp về giới hạn và tính liên tục – Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để bạn tìm thấy giới hạn và tính liên tục của một hàm?

Ta biết rằng giá trị của f gần x bên trái a, tức là giới hạn bên trái của f tại a và giá trị của f gần x đối với fa phải, tức là giới hạn bên phải bằng nhau, thì giá trị chung đó được gọi là giới hạn của f (x) tại x = a. Ngoài ra, một hàm f được cho là liên tục tại a nếu giới hạn của f (x) khi x tiến tới a bằng f (a).

Các giới hạn liên quan đến tính liên tục như thế nào?

Định nghĩa về tính liên tục được đưa ra với sự trợ giúp của các giới hạn như, một hàm f với biến x là liên tục tại điểm “a” trên đường thực, nếu giới hạn của f (x), khi x tiến tới điểm “a”, bằng với giá trị của f (x) tại “a”, nghĩa là f (a).

3 điều kiện của sự liên tục là gì?

Một hàm được cho là liên tục tại một điểm cụ thể nếu ba điều kiện sau được thỏa mãn.
1. f (a) được xác định
2. tồn tại lim_ {x → a} f (x)
3. lim_ {x → a +} f (x) = lim_ {x → a-} f (x) = f (a)

Giới hạn và tính liên tục trong giải tích là gì?

Giới hạn được sử dụng để thực hiện tất cả các định nghĩa cơ bản của giải tích. Ví dụ, các giới hạn được sử dụng để xác định các hàm liên tục. Định nghĩa thông thường của một giới hạn ngụ ý rằng mọi hàm là liên tục tại mọi điểm đơn lẻ trong miền của nó.

Khái niệm về tính liên tục là gì?

Nói chung, tính liên tục có nghĩa là thực tế không dừng lại hoặc không thay đổi. Tính liên tục đề cập đến điều gì đó xảy ra trong trạng thái không bị gián đoạn hoặc thường xuyên và liên tục.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x