Giới hạn và Phái sinh là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Giới thiệu Giới hạn và Phái sinh

Ngài Issac Newton, dựa trên các khái niệm về tỷ lệ và sự thay đổi của mình, đã đặt ra các định luật cơ bản của phép tính vi phân và phép tính tích phân được đưa ra như một quá trình ngược lại. Những kiến ​​thức cơ bản của phân biệt và giải tích đóng vai trò là nền tảng cho toán học nâng cao, vật lý hiện đại và nhiều ngành khác của khoa học và kỹ thuật hiện đại. Giới hạn và đạo hàm lớp 11 đóng vai trò là điểm đầu vào để tính toán cho sinh viên CBSE.

Giới hạn của một chức năng

Trong Toán học, một giới hạn được định nghĩa là một giá trị mà một hàm tiếp cận làm đầu vào và nó tạo ra một số giá trị. Giới hạn rất quan trọng trong giải tích và phân tích toán học và được sử dụng để xác định tích phân, đạo hàm và tính liên tục.

Giới hạn trình bày

Để thể hiện giới hạn của một hàm, chúng tôi biểu diễn nó như sau:

Công thức giới hạn

Sau đây là các công thức giới hạn quan trọng:

Giới hạn của các hàm lượng giác quan trọng:

• limx → 0s i n x = 0
• limx → 0cosx=1
• limx → 01−cosxx= 0
• limx → 0s tôin– 1xx= 1
• limx → 0t an– 1xx= 1
• limx → 0s tôi n xx= 1
• limx → 0t a n xx= 1

Quy tắc của L’hospital:

limx → af( x )g( x )=f′( a )g′( a ) , nếu dạng 0/0.limx → af( x )g( x )

Trong đó, f (a) = 0 và g (a) = 0.

Giới hạn của hàm mũ và hàm nhật ký:

• limx → 0ex= 1
• limx → 0ex– 1x= 1
• limx → ∞( 1 +1x)x= e
• limx → ∞( 1 +ax)x=ea
• limx → 0( 1 + x)1x= e
• limx → 0ax– 1x= l hoặcgea
• limx → 0l o g( 1 + x )x= 1

X ⁿ Công thức:

limx → axn–anx – a= n ( a)n – 1

Làm thế nào để Kiểm tra Nếu Giới hạn Tồn tại?

Để kiểm tra xem có tồn tại giới hạn cho hàm f (x) tại x = a hay không,

Chúng tôi phải kiểm tra, nếu

Giới hạn bên tay trái = Giới hạn bên tay phải = f (A)

(tức là),limx →a–f( x ) =limx →a+f( x ) = f( a )

Thuộc tính của giới hạn

Gọi p và q là hai hàm và a là một giá trị sao cho tồn tại  và  .limx → ap ( x )limx → aq( x )

Các dẫn xuất của một hàm

Đạo hàm đề cập đến tốc độ thay đổi tức thời của một đại lượng đối với đại lượng kia. Nó giúp điều tra từng thời điểm bản chất của một số tiền. Đạo hàm của một hàm được biểu diễn trong công thức dưới đây.

Công thức phái sinh

Thuộc tính của phái sinh

Một số tính chất quan trọng của các dẫn xuất được đưa ra dưới đây:

Ví dụ về giới hạn và phái sinh

Ví dụ 1:

Tìm limx → 3x + 3

Giải pháp:

limx → 3x + 3 = 3 + 3 = 6Ví dụ 2:

Tìm đạo hàm của sin x tại x = 0.

Giải pháp:

Giả sử, f (x) = sin x

thì f ‘(0) = lim _{h → 0}  [f (0 + h) – f (0)] / h

= lim _{h → 0}  [sin (0 + h) – sin (0)] / h

= lim _{h → 0}  [sin h] / h

= 1

Ví dụ 3: 

Tínhlimx → 0s i n ( 2 + x ) – s i n ( 2 – x )x

Giải pháp:

Được:

limx → 0s i n ( 2 + x ) – s i n ( 2 – x )x

=limx → 02 c o s( 2 + x + 2 – x )2vâng tôi n2 + x – 2 + x2x

=limx → 02 c o s 2 s i n xx

=2 c o s 2limx → 0s tôi n xx

= 2 cos 2 (1) (Như, )limx → 0s tôi n xx= 1

Do đó,limx → 0s i n ( 2 + x ) – s i n ( 2 – x )x= 2 c o s 2

Câu hỏi thực hành từ giới hạn và phái sinh

1. Đánh giálimx → 3x2– 9x – 3
2. limx → 1x2+ 2 x + 5x2+ 1
3. limx → 0s i n ( a + x ) – s i n ( a – x )x
4. TínhdYdxmột tx = 1tôi fY=x–√+1x√
5. Tìm đạo hàm của y = 1 – x ² + x – 3x ⁴