Góc giữa 2 Vectơ – Giải thích và Ví dụ

Vectơ, cụ thể là hướng của vectơ và góc mà chúng được định hướng, có tầm quan trọng đáng kể trong hình học vectơ và vật lý. Nếu có hai vectơ, giả sử a và b trong một mặt phẳng sao cho các đầu của cả hai vectơ nối với nhau, thì tồn tại một góc nào đó giữa chúng và góc giữa hai vectơ đó được xác định là:

 “ Góc giữa hai vectơ là góc ngắn nhất mà tại đó quay bất kỳ của hai vectơ nào về vectơ kia sao cho cả hai vectơ có cùng phương.”

Hơn nữa, cuộc thảo luận này tập trung vào việc tìm góc giữa hai vectơ chuẩn, có nghĩa là gốc của chúng ở (0, 0) trong mặt phẳng xy.

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ thảo luận ngắn gọn về các điểm sau:

• Góc giữa hai vectơ là gì?
• Làm thế nào để tìm ra góc giữa hai vectơ?
• Góc giữa hai vectơ 2-D.
• Góc giữa hai vectơ 3-D.
• Các ví dụ.
• Các vấn đề.

Góc giữa hai vectơ

Các vectơ được định hướng theo các hướng khác nhau trong khi tạo thành các góc khác nhau. Góc này tồn tại giữa hai vectơ và chịu trách nhiệm xác định vị trí của các vectơ. 

Góc giữa hai vectơ có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phép nhân vectơ. Có hai kiểu nhân vectơ, tức là tích vô hướng và tích chéo . 

Tích vô hướng là tích hoặc phép nhân của hai vectơ sao cho chúng tạo ra một đại lượng vô hướng. Như tên cho thấy, tích vectơ hoặc tích chéo tạo ra một đại lượng vectơ do tích hoặc phép nhân của hai vectơ.

Ví dụ, nếu chúng ta nói về chuyển động của quả bóng tennis, vị trí của nó được mô tả bởi một vectơ vị trí và chuyển động bởi một vectơ vận tốc có độ dài biểu thị tốc độ của quả bóng. Hướng của vectơ giải thích hướng chuyển động. Tương tự, động lượng của quả bóng cũng là một ví dụ về đại lượng vectơ có khối lượng nhân với vận tốc.

Đôi khi chúng ta phải xử lý hai vectơ tác dụng lên một đối tượng nào đó, do đó góc của vectơ là rất quan trọng. Trong thế giới thực, bất kỳ hệ thống làm việc nào cũng kết hợp một số vectơ được liên kết với nhau và tạo một số góc với nhau trong mặt phẳng nhất định. Vectơ có thể là hai chiều hoặc 3 chiều. Do đó, cần phải tính toán góc giữa các vectơ.

Đầu tiên chúng ta hãy thảo luận về các sản phẩm vô hướng.

Góc giữa hai vectơ sử dụng sản phẩm chấm

Xét hai vectơ a , b cách nhau một góc θ. Khi đó theo công thức của sản phẩm chấm là:

ab = | a | | b | .cosθ

trong đó ab là tích chấm của hai vectơ. | a | và | b | là độ lớn của vectơ a và b, và θ là góc giữa chúng.

Để tìm góc giữa 2 vectơ, chúng ta sẽ bắt đầu với công thức của tích số chấm cho cosin của góc θ.

Theo công thức của tích vô hướng,

ab = | a | | b | .cosθ

Điều này nói lên rằng tích số chấm của hai vectơ a và b bằng độ lớn của hai vectơ a và b nhân với cosin của góc. Để tìm góc giữa hai vectơ, a và b, chúng ta sẽ giải ra góc θ,

cosθ = ab / | a |. | b |

θ = arccos ( ab / | a |. | b |)

Vì vậy, θ là góc giữa hai vectơ.

Nếu vectơ a = <a x, a y> và b = <b x , b y >,

Khi đó tích chấm giữa hai vectơ a và b được cho là,

ab  = <a x, một y> . <b x , b y >

ab = a x .b x + a y .b y

Ở đây, chúng ta có thể có một ví dụ về công việc được thực hiện vì công việc được thực hiện được định nghĩa là lực tác dụng để di chuyển một vật thể ở một khoảng cách nào đó. Cả hai lực lượng và dịch chuyển là vectơ, và chấm sản phẩm của họ mang lại một số lượng vô hướng, tức là ., Làm việc. Công việc được thực hiện là tích số chấm của lực và độ dịch chuyển, có thể được định nghĩa là,

1. d = | F | | d | cos (θ)

Trong đó θ là góc giữa lực và độ dời. Ví dụ, nếu chúng ta coi một chiếc ô tô đang chuyển động trên đường, bao phủ một khoảng cách nào đó theo một hướng nhất định, thì một lực tác dụng lên ô tô, trong khi lực tạo nên một góc θ với độ dời.

Sau đây là một số thuộc tính của sản phẩm chấm:

• Tích có tính chất giao hoán.
• Nó có bản chất phân phối so với phép cộng vectơ:

1. (b + c) = (a. b) + (a. c)

• Nó không có tính chất liên kết.
• Một đại lượng vô hướng có thể được nhân với tích số chấm của hai vectơ.

1. (a. b) = (ca). b = a. (cb)

• Tích số chấm là cực đại khi hai vectơ khác không song song với nhau.
• Hai vectơ vuông góc với nhau nếu và chỉ khi a. b = 0 là tích chấm là cosin của góc giữa hai vectơ a và b và cos (90) = 0.
• Đối với vectơ đơn vị

Tôi . i = 1

1. j = 1
2. k = 1

• Phép nhân điểm không tuân theo luật hủy

1. b = a. c
2. (b – c) = 0

Tương tự, chúng ta cũng có thể sử dụng các sản phẩm chéo cho mục đích này.

Công thức của tích chéo như sau:

axb = | a |. | b | .sinθ. n

Đầu tiên chúng ta hãy đánh giá góc giữa hai vectơ bằng cách sử dụng tích số chấm.

ví dụ 1

Tìm góc giữa hai vectơ có độ lớn bằng nhau và độ lớn của vectơ kết quả của chúng tương đương với độ lớn của một vectơ bất kỳ trong số các vectơ đã cho.

Giải pháp

Chúng ta hãy xem xét hai vectơ, Một  và  B, và các kết quả của hai vectơ là R .

Do đó, theo điều kiện được đưa ra trong câu hỏi:

| A | = | B | = | R |

Bây giờ, theo định luật cosin,

| R | ^ 2 = | A | ^ 2 + | B | ^ 2 + 2 | A || B | . cos (θ)

Kể từ, | A | = | B | = | R |

| A | ^ 2 = | A | ^ 2 + | A | ^ 2 + 2 | A || A | . cos (θ)

| A | ^ 2 = | A | ^ 2 + | A | ^ 2 + | A | ^ 2 . cos (θ)

| A | ^ 2 = 2 | A | ^ 2 + | A | ^ 2 . cos (θ)

| A | ^ 2 = 2 | A | ^ 2 (1 + cos (θ))

| A | ^ 2/2 | A | ^ 2 = (1 + cos (θ))

1/2 = 1 + cos (θ)

1/2 – 1 = cos (θ)

-1 / 2 = cos (θ)

θ = cos -1 (-1 / 2)

θ = 120 º

Vậy góc giữa hai vectơ có hoành độ bằng nhau thì bằng 120º .

Ví dụ 2

Tìm góc giữa hai vectơ có độ lớn bằng nhau. Ngoài ra, hãy tính toán độ lớn của vectơ kết quả.

Giải pháp

Nó được cho rằng,

| A | = | B |

Sử dụng pháp luật của cosin để tính toán độ lớn của vector kết quả R .

| R | ^ 2 = | A | ^ 2 + | B | ^ 2 + 2 | A || B | . cos (θ)

| R | = √ (| A | ^ 2 + | B | ^ 2 + 2 | A || B |. Cos (θ))

| R | = √ | A | ^ 2 + | A | ^ 2 + 2 | A || A | . cos (θ)

| R | = √ (2 | A | ^ 2 + 2 | A | ^ 2. Cos (θ))

| R | = √ (2 | A | ^ 2  (1 + cos (θ)))

Áp dụng nhận dạng nửa góc,

| R | = √ (4A ^ 2 cos ^ 2 (θ / 2))

| R | = 2 A cos (θ / 2)

Bây giờ, để tính toán góc kết quả α mà nó sẽ tạo ra với vectơ đầu tiên,

tan α = (A sin θ) / (A + A cos θ)

tan α = (2 A cos (θ / 2). sin (θ / 2) / (2 A cos 2 (θ / 2))

tan α = tan (θ / 2)

α = θ / 2

Do đó, điều này cho thấy rằng kết quả sẽ chia góc giữa hai vectơ có độ lớn bằng nhau.

Ví dụ 3

Tìm góc giữa hai vectơ đã cho.

A = 6 i + 5 j + 7 k

B = 3 i + 8 j + 2 k

Giải pháp

Sử dụng công thức của sản phẩm chấm,

1. B = | A | | B | . cos (θ)

Tìm hoành độ của A và B.

Vì vậy, độ lớn của A được cho là,

| A | = √ ((6) ^ 2 + (5) ^ 2 + (7) ^ 2 )

| A | = √ (36 + 25 + 49)

| A | = √ (110)

Độ lớn của B được cho là,

| B | = √ ((3) ^ 2 + (8) ^ 2 + (2) ^ 2 )

| B | = √ (9 + 64 + 4)

| B | = √ (77)

Bây giờ, việc tìm kiếm sản phẩm chấm,

AB = (6 i + 5 j +7 k ). (3 i + 8 j + 2 k )

AB = 18 + 40 + 14

AB = 72

Đưa vào công thức của sản phẩm chấm,

72 = (√ (110)). (√ (77)). cos (θ)

72 / (√ (110 x 77)) = cos (θ)

cos (θ) = 0,78

θ = cos -1 (0,78)

θ = 51,26 º

Ví dụ 4

Tìm góc giữa hai vectơ đã cho

A = <4, 3, 2>

B = <1, 2, 5>

Giải pháp

Sử dụng công thức của sản phẩm chấm,

1. B = | A | | B | . cos (θ)

Tìm hoành độ của A và B.

Vì vậy, độ lớn của A được cho là,

| A | = √ ((4) ^ 2 + (3) ^ 2 + (2) ^ 2 )

| A | = √ (16 + 9 + 4)

| A | = √ (29)

Độ lớn của B được cho là,

| B | = √ ((1) ^ 2 + (2) ^ 2 + (5) ^ 2 )

| B | = √ (1 + 4 + 25)

| B | = √ (30)

Bây giờ, việc tìm kiếm sản phẩm chấm,

AB = <4, 3, 2>. <1, 2, 5>

AB = 4 + 6 + 10

AB = 20

Đưa vào công thức của sản phẩm chấm,

20 = (√ (29)). (√ (30)). cos (θ)

20 / (√ (29 x 30)) = cos (θ)

cos (θ) = 0,677

θ = cos -1 (0,677)

θ = 42,60º

Góc giữa hai vectơ sử dụng sản phẩm chéo

Một phương pháp khác để tìm góc giữa hai vectơ là tích chéo. Sản phẩm chéo được định nghĩa là:

“Vectơ vuông góc với cả vectơ và hướng được cho bởi quy tắc bàn tay phải. 

Vì vậy, sản phẩm chéo được biểu diễn bằng toán học là,

axb = | a | | b | . sin (θ) n

Trong đó θ là góc giữa hai vectơ, | a | và | b | là độ lớn của hai vectơ a và b, và n là vectơ đơn vị vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ a  và b theo phương được cho bởi quy tắc bàn tay phải.

Xét hai vectơ a và b có đuôi nối với nhau và do đó tạo thành một góc θ nào đó. Để tìm góc giữa hai vectơ, chúng ta sẽ vận dụng công thức tích chéo ở trên.

( axb ) / (| a |. | b |) = sin (θ)

Nếu các vectơ a và b đã cho song song với nhau thì theo công thức nêu trên, tích chéo sẽ bằng 0 vì sin (0) = 0. Trong khi xử lý tích chéo, chúng ta phải cẩn thận với các hướng.

Sau đây là một số đặc tính của sản phẩm chéo:

• Sản phẩm chéo có bản chất chống ung thư.
• Tích chéo tự của các vectơ bằng không.

A x A = 0

• Sản phẩm chéo được phân phối hơn là bổ sung vectơ

            a x ( b + c) = ( a x b ) + ( a x c )

• Nó không có tính chất liên kết.
• Một đại lượng vô hướng có thể được nhân với tích số chấm của hai vectơ.

1. ( a x b ) = (c  a ) x b = a x (c b ) 

• Tích của dấu chấm là cực đại khi hai vectơ khác không vuông góc với nhau.
• Hai vectơ song song (tức là nếu góc giữa hai vectơ bằng 0 hoặc 180) với nhau nếu và chỉ khi axb = 1 là tích chéo là sin của góc giữa hai vectơ a và b và sin (0) = 0 hoặc sin ( 180) = 0.
• Đối với vectơ đơn vị

ixi = 0

jxj = 0

kxk = 0

ixj = k

jxk = tôi

kxi = j

• Phép nhân chéo không tuân theo luật hủy bỏ

axb = axc

ax ( b – c ) = 0

Đây là một số thuộc tính của sản phẩm chéo.

Hãy giải một số ví dụ để hiểu khái niệm này.

Ví dụ 5

Tính góc giữa hai vectơ sao cho chúng là vectơ đơn vị a và b  trong đó a x b = 1/3 i + 1/4 j .

Giải pháp

Kể từ, nó đã cho,

| a | = | b | = 1

Trong khi,

| axb | = √ ((1/3) ^ 2 + (1/4) ^ 2 ) = 1/5

Bây giờ, đưa vào công thức,

| axb | = | a | | b | tội lỗi θ

1/5 = (1) (1) sin θ

θ = sin -1 (1/5)

θ = 30 º

Ví dụ 6

Tính góc giữa hai vectơ sao cho a = 3 i – 2 j – 5 k và b = i + 4 j – 4 k  trong đó a x b = 28 i + 7 j + 14 k . 

Giải pháp

Vì vậy, độ lớn của vectơ a được cho là,

| a | = √ ((3) ^ 2 + (-2) ^ 2 + (-5) ^ 2 )

| a | = √ (9 + 4 + 25)

| a | = √ (38)

Độ lớn của vectơ b được cho là,

| b | = √ ((1) ^ 2 + (4) ^ 2 + (-4) ^ 2 )

| b | = √ (1 + 16 + 16)

| b | = √ (33)

Trong khi, độ lớn của axb được cho là,

| axb | = √ ((28) 2 + (7) 2  + (14))

| axb | = √ (1029)

| axb | = 32,08

Bây giờ, đưa vào công thức,

| axb | = | a | | b | tội lỗi θ

32,08 = (√ (38)) (√ (33)) sin θ

sin θ = 32,08 / (√ (38)) (√ (33))

θ = 64,94 º

Vậy góc giữa hai vectơ a  và b  là θ = 64,94º  .

Vectơ có thể là cả hai chiều cũng như ba chiều. Phương pháp tìm góc giống nhau trong cả hai trường hợp. Sự khác biệt duy nhất là vectơ 2-D có hai tọa độ x và y trong khi vectơ 3-D có ba tọa độ x, y và z. Các ví dụ được giải quyết ở trên sử dụng cả vectơ 2-D và 3-D.

Vấn đề thực hành

1. Cho rằng | A | = 3 và | B | = 5 trong đó a. b = 7,5, tìm góc giữa hai vectơ.
2. Tính góc giữa hai vectơ 3i + 4j – k và 2i – j + k.
3. Tính góc giữa hai vectơ sao cho a = 2 i – 3 j + 1 k và b = -1 i + 0 j + 5 k  trong đó a x b = -15 i – 11 j – 3 k .  
4. Tính góc giữa hai vectơ sao cho a = 2 i + 3 j + 5 k và b = i + 6 j – 4 k  trong đó a . b = 0.    
5. Tìm góc giữa các vectơ đã cho t  = (3, 4) và  r  = (−1, 6).
6. Vectơ R của hai vectơ A và B có cùng độ lớn sẽ là bao nhiêu nếu góc giữa chúng bằng 90 o .

Câu trả lời

1. 60 °
2. 85,40 °
3. 81,36 °
4. 90 °
5. 36,30 °
6. 90 °

Xem thêm:

Cách tìm độ lớn vectơ đơn giản nhất cho bạn

Chi tiết cách tìm một đơn vị Vector chỉ trong giây lát