Hàm ẩn là gì?
Khi trong một hàm, biến phụ thuộc không bị cô lập rõ ràng ở hai bên của phương trình thì hàm đó sẽ trở thành một hàm không tường minh.
Rất dễ giải khi phương trình có dạng y = f (x). Khi một hàm được biểu diễn dưới dạng như vậy, nó biểu thị một hàm rõ ràng. Nhưng có thể biểu diễn y một cách ẩn theo f (x). Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng khái niệm phân biệt hàm ngầm định .
Vòng tròn đơn vị có thể được xác định một cách ngầm định là tập hợp các điểm (x, y) thỏa mãn phương trình, x 2 + y 2 = 1.
Để làm rõ hơn quan điểm của chúng tôi, chúng ta hãy xem xét một số hàm ngầm và xem chúng được phân biệt như thế nào.
Định lý hàm ẩn
Trong toán học, đặc biệt là trong phép tính nhiều biến, định lý hàm ẩn là một cơ chế cho phép biến đổi các quan hệ thành các hàm của các biến số thực khác nhau. Nó có thể được biểu diễn bằng cách biểu diễn quan hệ dưới dạng đồ thị của một hàm số. Một đồ thị hàm riêng lẻ có thể không đại diện cho mối quan hệ đầy đủ, nhưng có thể có một hàm như vậy trên một giới hạn của miền của mối quan hệ. Định lý hàm ngầm đưa ra một điều kiện thỏa mãn để đảm bảo rằng có một hàm như vậy.
Giả sử một hàm có n phương trình được đưa ra, sao cho f i (x 1 ,…, x n , y 1 ,…, y n ) = 0, trong đó i = 1,…, n hoặc chúng ta cũng có thể biểu diễn dưới dạng F ( x i , y i ) = 0, thì định lý ngầm định rằng, trong điều kiện hợp lý trên đạo hàm riêng tại một điểm, m biến y i là các hàm phân biệt của x j trong một phần nào đó của điểm. Vì, chúng ta không thể biểu diễn các hàm này ở dạng đóng, do đó chúng được xác định ngầm bởi các phương trình.
Phân biệt chức năng ngầm định
Không nhất thiết phải tìm công thức của một hàm ẩn để tìm đạo hàm của nó. Thật vậy, đôi khi không dễ dàng có được công thức cho một hàm không tường minh mà không tạo ra một số loại hàm khác biệt trong quá trình: Ví dụ, hãy xem xét lại quan hệ cos y = x. Chúng ta có thể tìm đạo hàm của các hàm ẩn của quan hệ này, nơi mà đạo hàm tồn tại, bằng cách sử dụng một phương pháp gọi là phân biệt ngầm định . Ý nghĩ đằng sau sự khác biệt ngầm định là coi y như một hàm của x. Để chỉ ra điều này, chúng ta hãy viết lại quan hệ được đề cập ở trên bằng cách thay thế y bằng y (x):
tức là cos (y (x)) = x
Bây giờ chúng ta phân biệt cả hai vế của phương trình đó và đặt các đạo hàm của chúng bằng nhau. Vì chúng ta không biết công thức của y (x), chúng ta để lại đạo hàm của nó là y ‘(x):
-sin (y (x)) · y ‘(x) = 1
Cuối cùng, chúng ta giải y ‘(x) để nhận được công thức cần thiết:
y ‘(x) = -1 / sin (y (x))
= -1 / sin và
Ví dụ về hàm ẩn
Ví dụ 1: Tìm dy / dx nếu y = 5x 2 – 9y
Giải 1: Hàm số đã cho, y = 5x 2 – 9y có thể viết lại thành:
⇒ 10y = 5 x 2
⇒ y = 1/2 x 2
Vì phương trình này có thể được biểu diễn một cách rõ ràng theo y, do đó, nó là một hàm rõ ràng.
Bây giờ, vì nó là một hàm rõ ràng, chúng ta có thể phân biệt trực tiếp nó với hàm x,
Từ, d(xn)dx =nxn – 1
⇒ dy / dx = x
Ví dụ 2: Tìm, dYdx nếu y = 5x2– 9eY .
Lời giải: Hàm số đã cho y =5x2– 9eY có thể được viết lại thành Y+ 9eY= 5x2. Nhưng không thể hoàn toàn cô lập và biểu diễn nó như một chức năng của. Loại hàm này được biết đến như một hàm ngầm định.
Để phân biệt một hàm ẩn, chúng ta coi y như một hàm của x và sau đó chúng ta sử dụng quy tắc chuỗi để phân biệt bất kỳ số hạng nào bao gồm y.
Bây giờ để phân biệt hàm đã cho, chúng ta phân biệt trực tiếp wrt x toàn bộ hàm. Bước này về cơ bản chỉ ra việc sử dụng quy tắc chuỗi.
⇒ dYdx+d( 9eY)dx = d( 5x2)dx
⇒ dYdx+ 9eYdYdx = 10x
⇒ dYdx( 1 + 9eY) = 10x
⇒ dYdx = 10 x1 + 9YY
Ví dụ 3: TìmdYdx. nếux4+Y3– 3x2Y = 0.
Giải pháp 3: Hàm số đã chox4+Y3– 3x2Y= 0 có thể được phân biệt bằng cách sử dụng khái niệm phân biệt chức năng ngầm định.
Do đó, phân biệt cả hai bên wrt x, chúng tôi nhận được,
4x3+ 3Y2dYdx– 3 ( 2 x y+x2dYdx) = 0
dYdx( 3x2– 3Y2) = 4x3– 6 x y
⇒ dYdx = 4x3– 6 x y3x2– 3Y2
Ví dụ 4: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y =x2+ 3Y2+ x y .
Giải pháp 4: Trong ví dụ này, chúng ta được yêu cầu tìm một tiếp tuyến của đường cong đã cho. Để tìm một tiếp tuyến, chúng tôi tìmdYdx đại diện cho độ dốc của đường cong đã cho. Vì nó là một hàm ngầm định, khi phân biệt cả hai bên wrt x, chúng ta nhận được,
dYdx= 2x + 6ydYdx+ và+ xdYdx
⇒ dYdx( 1 – x – 6 y) = 2x + y
⇒ dxdY = 2 x + y1 – x – 6 y
Điều này thể hiện độ dốc của đường cong đã cho.
Ví dụ 5: Phân biệt hoàn toàn x 2 + y 2 = 25.
Bài giải: Phân biệt x 2 + y 2 = 25 với x ta được;
2x + 2y dy / dx = 0
2y dy / dx = -2x
dy / dx = -2x / 2y
dy / dx = -x / y
Ví dụ 6: Phân biệt hoàn toàn x 3 + y 2 = 16.
Bài giải: Phân biệt x 3 + y 2 = 16 với x ta được;
3x 2 + 2y dy / dx = 0
2y dy / dx = -3x 2
dy / dx = -3x 2 / 2y
Bây giờ có thể rất rõ ràng cho bạn sự khác biệt chính xác giữa một hàm ẩn và một hàm rõ ràng. Phương pháp tìm các đạo hàm của hàm ẩn hiện cũng đã rất rõ ràng.
