Hàm lượng giác nghịch đảo là gì?
Các hàm lượng giác nghịch đảo còn được gọi là “ Hàm Arc ” vì đối với một giá trị nhất định của các hàm lượng giác, chúng tạo ra độ dài cung cần thiết để có được giá trị cụ thể đó. Các hàm lượng giác nghịch đảo thực hiện hoạt động ngược lại của các hàm lượng giác như sin, cosine, tiếp tuyến, cosecant, secant và cotang. Chúng ta biết rằng các hàm lượng giác đặc biệt áp dụng cho tam giác vuông. Sáu hàm quan trọng này được sử dụng để tìm số đo góc trong tam giác vuông khi biết hai cạnh của số đo tam giác.
Công thức
Các công thức lượng giác nghịch đảo cơ bản như sau:
Hàm Trig Nghịch đảo | Công thức |
Arcsine | sin -1 (-x) = -sin -1 (x), x ∈ [-1, 1] |
Arccosine | cos -1 (-x) = π -cos -1 (x), x ∈ [-1, 1] |
Arctangent | tan -1 (-x) = -tan -1 (x), x ∈ R |
Arccotangent | cot -1 (-x) = π – cot -1 (x), x ∈ R |
Arcsecant | sec -1 (-x) = π -sec -1 (x), | x | ≥ 1 |
Arccosecant | cosec -1 (-x) = -cosec -1 (x), | x | ≥ 1 |
Đồ thị hàm lượng giác ngược
Đặc biệt có sáu hàm lượng giác nghịch đảo cho mỗi tỷ lệ lượng giác . Nghịch đảo của sáu hàm lượng giác quan trọng là:
- Arcsine
- Arccosine
- Arctangent
- Arccotangent
- Arcsecant
- Arccosecant
Hãy để chúng tôi thảo luận về tất cả sáu loại quan trọng của hàm lượng giác nghịch đảo cùng với định nghĩa, công thức, đồ thị, tính chất và các ví dụ đã giải của nó.
Hàm Arcsine
Hàm arcsine là một nghịch đảo của hàm sin được ký hiệu là sin -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Miền | -1 ≤ x ≤ 1 |
Phạm vi | -π / 2 ≤ y ≤ π / 2 |
Hàm Arccosine
Hàm arccosine là hàm ngược của hàm cos được ký hiệu là cos -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Do đó, nghịch biến của hàm cos có thể được biểu diễn dưới dạng; y = cos -1 x (arccosine x )
Miền & Phạm vi của hàm arcsine:
Miền | -1≤x≤1 |
Phạm vi | 0 ≤ y ≤ π |
Hàm Arctangent
Hàm Arctangent là hàm ngược của hàm tiếp tuyến được ký hiệu là tan -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Do đó, nghịch đảo của hàm tiếp tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng; y = tan -1 x (arctang x )
Miền & Phạm vi Arctangent:
Miền | -∞ <x <∞ |
Phạm vi | -π / 2 <y <π / 2 |
Hàm Arccotangent (Arccot)
Hàm Arccotang là hàm ngược của hàm cotang được ký hiệu là cot -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Do đó, nghịch đảo của hàm cotang có thể được biểu diễn dưới dạng; y = cot -1 x (arccotangent x )
Miền & Phạm vi của Arccotangent:
Miền | -∞ <x <∞ |
Phạm vi | 0 <y <π |
Hàm Arcsecant
Hàm arcsecant (arcsec) là gì? Hàm arcsecant là nghịch đảo của hàm secant được ký hiệu là sec -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Do đó, nghịch đảo của hàm secant có thể được biểu thị bằng; y = giây -1 x (arcsecant x )
Tên miền & Phạm vi Arcsecant:
Miền | -∞ ≤ x ≤ -1 hoặc 1 ≤ x ≤ ∞ |
Phạm vi | 0 ≤ y ≤ π, y ≠ π / 2 |
Hàm Arccosecant
Hàm arccosecant (arccsc x ) là gì? Hàm Arccosecant là nghịch đảo của hàm cosecant được ký hiệu là cosec -1 x . Nó được biểu diễn trong biểu đồ như bên dưới:
Do đó, nghịch đảo của hàm cosecant có thể được biểu diễn dưới dạng; y = cosec -1 x (arccosecant x )
Tên miền & Phạm vi của Arccosecant là:
Miền | -∞ ≤ x ≤ -1 hoặc 1 ≤ x ≤ ∞ |
Phạm vi | -π / 2 ≤ y ≤ π / 2, y ≠ 0 |
Bảng hàm lượng giác nghịch đảo
Hãy để chúng tôi viết lại ở đây tất cả các hàm lượng giác nghịch đảo với ký hiệu, định nghĩa, miền và phạm vi của chúng.
Tên chức năng | Ký hiệu | Định nghĩa | Miền của x | Phạm vi |
Arcsine hoặc sin nghịch đảo | y = sin -1 ( x) | x = sin y | −1 ≤ x ≤ 1 |
|
Arccosine hoặc cosine nghịch đảo | y = cos -1 (x) | x = cos y | −1 ≤ x ≤ 1 |
|
Arctangent hoặc
Tiếp tuyến nghịch đảo |
y = tan -1 (x) | x = tan y | Đối với tất cả các số thực |
|
Arccotangent hoặc
Cot nghịch đảo |
y = cot -1 (x) | x = cot y | Đối với tất cả các số thực |
|
Arcsecant hoặc
Inverse Secant |
y = giây -1 (x) | x = giây y | x ≤ −1 hoặc 1 ≤ x |
|
Arccosecant | y = csc -1 (x) | x = csc y | x ≤ −1 hoặc 1 ≤ x |
|
Hàm lượng giác nghịch đảo Đạo hàm
Đạo hàm của hàm số lượng giác nghịch đảo là đạo hàm cấp một. Hãy để chúng tôi kiểm tra ở đây các đạo hàm của tất cả sáu hàm nghịch đảo.
Hàm Trig Nghịch đảo | dy / dx |
y = sin -1 ( x) | 1 / √ (1-x 2 ) |
y = cos -1 (x) | -1 / √ (1-x 2 ) |
y = tan -1 (x) | 1 / (1 + x 2 ) |
y = cot -1 (x) | -1 / (1 + x 2 ) |
y = giây -1 (x) | 1 / [| x | √ (x 2 -1)] |
y = csc -1 (x) | -1 / [| x | √ (x 2 -1)] |
Thuộc tính của hàm lượng giác ngược
Các hàm lượng giác nghịch đảo còn được gọi là các hàm Arc. Hàm lượng giác nghịch đảo được xác định trong một khoảng nhất định (trong các miền giới hạn).
Khái niệm cơ bản về lượng giác
Các kiến thức cơ bản về lượng giác bao gồm lượng giác cơ bản và các tỉ số lượng giác như sin x, cos x, tan x, cosec x, sec x và cot x.
Các vấn đề về Hàm lượng giác nghịch đảo
Ví dụ 1: Tìm giá trị của x, cho sin (x) = 2.
Lời giải: Cho: sin x = 2
x = sin -1 (2), điều này là không thể.
Do đó, không có giá trị nào của x mà sin x = 2; vì miền của sin -1 x là -1 đến 1 với các giá trị của x.
Ví dụ 2: Tìm giá trị của sin -1 (sin (π / 6)).
Giải pháp :
sin -1 (sin (π / 6) = π / 6 (Sử dụng đồng dạng sin -1 (sin (x)) = x)
Ví dụ 3: Tìm sin (cos -1 3/5).
Giải pháp :
Giả sử rằng, cos -1 3/5 = x
Vì vậy, cos x = 3/5
Chúng ta biết, sin x = 1 – c oS2x——-√
Vì vậy, sin x = 1 –925—-√ = 4/5
Điều này ngụ ý, sin x = sin (cos -1 3/5) = 4/5
Ví dụ 4: Giải: không có(cũi– 1x )
Giải pháp:
Để cho cũi– 1x = θ⇒x = cũiθ
Hiện nay, cose cθ =1 +cũi2θ——-√=1 +x2—–√
Vì thế, không cóθ =1cose cθ=11 +x2√⇒θ =không có– 111 +x2√
Vì thế không có(cũi– 1x )= không có(không có– 111 +x2√) =11 +x2√=( 1 +x2)– 1 / 2
Ví dụ 5: giây– 1[ giây( –30O) ] =
Giải pháp:
giây– 1[ giây( –30O) ] =giây– 1( giây30O) =30OVí dụ 6: Nếu không có(không có– 115+cos– 1x ) =1, khi đó giá trị của x là bao nhiêu?
Giải pháp:
không có– 115+cos– 1x =Số Pi2không có– 115=Số Pi2–cos– 1x =không có– 1xx =15
Vấn đề thực hành
Bài toán 1: Giải: tan (arcsin 13/12)
Bài toán 2: Tìm giá trị của x, cos (arccos 1) = cos x