Định nghĩa trung bình hài hòa

Trung bình hài hòa (HM) được định nghĩa là nghịch đảo của  giá trị trung bình nghịch đảo của các giá trị dữ liệu. . Nó dựa trên tất cả các quan sát, và nó được xác định một cách cứng nhắc. Trung bình hài cho ít trọng số hơn đối với các giá trị lớn và trọng số lớn đối với các giá trị nhỏ để cân bằng các giá trị một cách chính xác. Nói chung, trung bình điều hòa được sử dụng khi cần thiết phải cung cấp trọng lượng lớn hơn cho các mặt hàng nhỏ hơn. Nó được áp dụng trong trường hợp thời gian và tỷ lệ trung bình.

Công thức hài hòa

Vì trung bình điều hòa là nghịch đảo của giá trị trung bình của nghịch đảo , công thức xác định trung bình điều hòa “HM” được đưa ra như sau:

Nếu x ₁ , x ₂ , x ₃ ,…, x _n là các mục riêng lẻ có tối đa n số hạng, thì,

Trung bình hài, HM = n / [(1 / x ₁ ) + (1 / x ₂ ) + (1 / x ₃ ) +… + (1 / x _n )]

Làm thế nào để tìm một hài hòa trung bình?

Nếu a, b, c, d,… là các giá trị dữ liệu đã cho, thì các bước để tìm giá trị trung bình hài như sau:

Bước 1: Tính nghịch đảo của từng giá trị (1 / a, 1 / b, 1 / c, 1 / d,…)

Bước 2: Tìm giá trị trung bình của các nghịch đảo có được từ bước 1.

Bước 3: Cuối cùng, lấy nghịch đảo của giá trị trung bình thu được ở bước 2.

Mối quan hệ giữa trung bình số học, trung bình hình học và trung bình hài hòa

Ba phương tiện như trung bình số học, trung bình hình học , trung bình điều hòa được gọi là phương tiện Pitago. Công thức cho ba loại phương tiện khác nhau là:

Trung bình số học = (a ₁ + a ₂ + a ₃ +… .. + a _n ) / n

Harmonic Mean = n / [(1 / a ₁ ) + (1 / a ₂ ) + (1 / a ₃ ) +… + (1 / a _n )]

Geometric Mean = a1.a2.a3…an————√n

Nếu G là trung bình hình học, H là trung bình điều hòa và A là trung bình cộng, thì mối quan hệ giữa chúng được cho bởi:

G =A H—√Hoặc là

G ² = AH

Trung bình hài có trọng số

Việc tính giá trị trung bình hài có trọng số tương tự như trung bình điều hòa đơn giản. Đây là một trường hợp đặc biệt của trung bình điều hòa khi tất cả các trọng số đều bằng 1. Nếu tập các trọng số như w ₁ , w ₂ , w ₃ ,…, w _n nối với không gian mẫu x ₁ , x ₂ , x ₃ ,…., X _n , thì trung bình hài có trọng số được xác định bởi

HMw=∑ni = 1wTôi∑ni = 1wTôixTôiNếu các tần số “f” được coi là trọng số “w”, thì giá trị trung bình hài được tính như sau:

Nếu x ₁ , x ₂ , x ₃ ,…., X _n là n mục có tần số tương ứng f ₁ , f ₂ , f ₃ ,…., F _n , thì trung bình điều hòa có trọng số là

HM _w = N / [(f ₁ / x ₁ ) + (f ₂ / x ₂ ) + (f ₃ / x ₃ ) +…. (F _n / x _n )]

Ghi chú:

1. Giá trị f được coi là trọng số
2. Đối với chuỗi liên tục, giá trị giữa = (Giới hạn dưới + Giới hạn trên) / 2 và được lấy là x

Sử dụng hài hòa trung bình

Công dụng chính của các phương tiện điều hòa như sau:

• Giá trị trung bình hài hòa được áp dụng trong tài chính cho các bội số trung bình như tỷ lệ giá trên thu nhập
• Nó cũng được sử dụng bởi các kỹ thuật viên thị trường để xác định các mẫu như Chuỗi Fibonacci

Merits and Demerits of Harmonic Mean

Sau đây là giá trị của trung bình điều hòa:

• Nó bị giới hạn một cách cứng nhắc.
• Nó dựa trên tất cả các chế độ xem của một chuỗi, tức là nó không thể được tính toán bằng cách bỏ qua bất kỳ mục nào của chuỗi.
• Nó có thể nâng cao phương pháp đại số.
• Nó cung cấp một kết quả đáng tin cậy hơn khi các kết quả đạt được là như nhau đối với các phương tiện khác nhau được áp dụng.
• Nó cung cấp trọng lượng cao nhất cho mục nhỏ nhất của một loạt.
• Nó cũng có thể được đo khi một chuỗi giữ bất kỳ giá trị âm nào.
• Nó tạo ra một phân phối lệch của một phân phối bình thường.
• Nó tạo ra một đường cong thẳng hơn của AM và GM

Điểm yếu của loạt sóng hài như sau:

• Giá trị trung bình hài bị ảnh hưởng rất nhiều bởi các giá trị của các mục cực trị
• Nó không thể tính toán nếu bất kỳ mục nào bằng 0
• Việc tính toán giá trị trung bình hài rất phức tạp, vì nó liên quan đến việc tính toán bằng cách sử dụng nghịch đảo của một số.

Ví dụ về Harmonic Mean

Ví dụ 1:

Tìm trung bình điều hòa cho dữ liệu 2, 5, 7 và 9.

Giải pháp:

Dữ liệu đã cho: 2, 5, 7, 9

Bước 1: Tìm nghịch đảo của các giá trị:

½ = 0,5

⅕ = 0,2

1/7 = 0,14

1/9 = 0,11

Bước 2: Tính trung bình cộng của các giá trị nghịch đảo thu được từ bước 1.

Ở đây, tổng số giá trị dữ liệu là 4.

Trung bình = (0,5 + 0,2 + 0,143 + 0,11) / 4

Trung bình = 0,953 / 4

Bước 3: Cuối cùng, lấy nghịch đảo của giá trị trung bình thu được từ bước 2.

Harmonic Mean = 1 / Trung bình

Harmonic Mean = 4 / 0,953

Harmonic Mean = 4,19

Do đó, trung bình hài đối với dữ liệu 2, 5, 7, 9 là 4,19.

Ví dụ 2:

Tính giá trị trung bình sóng hài cho các dữ liệu sau:

Giải pháp:

Cách tính giá trị trung bình hài được trình bày trong bảng dưới đây:

Công thức cho giá trị trung bình hài có trọng số là

HM _w = N / [(f ₁ / x ₁ ) + (f ₂ / x ₂ ) + (f ₃ / x ₃ ) +…. (F _n / x _n )]

HM _w = 42 / 7.879

HM _w = 5,331

Do đó, trung bình điều hòa, HM _w là 5,331.