Hoán vị là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Định nghĩa của Hoán vị

Về cơ bản Hoán vị là sự sắp xếp các đối tượng theo một cách hoặc một thứ tự cụ thể. Trong khi giải quyết vấn đề hoán vị, người ta nên quan tâm đến việc lựa chọn cũng như sắp xếp. Tóm lại, thứ tự là rất cần thiết trong hoán vị. Nói cách khác, hoán vị được coi như một tổ hợp có thứ tự.

Các phân số không thích hợp 

Biểu diễn Hoán vị

Chúng ta có thể biểu diễn hoán vị theo nhiều cách, chẳng hạn như:

• P ( n , k )
• Pnk
• nPk
• nPk
• Pn, k

Công thức

Công thức hoán vị của n đối tượng để chọn r đối tượng được cho bởi:
P (n, r) = n! / (Nr)!
Ví dụ, số lượng cách vị trí thứ 3 và thứ 4 có thể được trao cho 10 thành viên là:
P (10, 2) = 10! / (10-2)! = 10! / 8! = (10,9,8!) / 8! = 10 x 9 = 90

Các loại hoán vị

Hoán vị có thể được phân loại thành ba loại khác nhau:

• Hoán vị của n đối tượng khác nhau (khi không được phép lặp lại)
• Lặp lại, nơi cho phép lặp lại
• Hoán vị khi các đối tượng không khác nhau (Hoán vị của nhiều tập hợp)

Hãy để chúng tôi hiểu tất cả các trường hợp hoán vị một cách chi tiết.

Hoán vị của n đối tượng khác nhau

Nếu n là một số nguyên dương và r là một số nguyên , sao cho r <n, thì P (n, r) biểu thị số tất cả các cách sắp xếp hoặc hoán vị có thể có của n đối tượng riêng biệt được lấy r tại một thời điểm. Trong trường hợp hoán vị mà không lặp lại, số lượng các lựa chọn có sẵn sẽ giảm đi mỗi lần. Nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng:

nPr.

P (n, r) = n (n-1) (n-2) (n-3) …… .. tối đa r thừa số

⇒ P (n, r) = n (n-1) (n-2) (n-3) …… .. (n – r +1)

⇒ P( n , r ) =n !( n – r ) !

Ở đây, “ ⁿ P _r ” đại diện cho các đối tượng “n” được chọn từ các đối tượng “r” mà không lặp lại, trong đó thứ tự quan trọng.

Ví dụ: Có bao nhiêu từ gồm 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SWING khi không được phép lặp lại các chữ cái?

Giải: Ở đây n = 5, vì từ SWING có 5 chữ cái. Vì chúng ta phải đóng khung 3 từ chữ cái có hoặc không có nghĩa và không có sự lặp lại, do đó tổng số hoán vị có thể là:

⇒ P( n , r ) =5 !( 5 – 3 ) !=5 × 4 × 3 × 2 × 12 × 1= 60

Hoán vị khi cho phép lặp lại

Chúng ta có thể dễ dàng tính toán hoán vị với sự lặp lại. Hoán vị có lặp lại các đối tượng có thể được viết bằng cách sử dụng dạng lũy ​​thừa.

Khi số đối tượng là “n” và chúng ta có “r” là lựa chọn đối tượng, thì;

Chọn một đối tượng có thể theo n cách khác nhau (mỗi lần).

Do đó, hoán vị của các đối tượng khi cho phép lặp lại sẽ bằng,

n × n × n × …… (r lần) = n ^r

Đây là công thức hoán vị để tính số hoán vị khả thi cho việc lựa chọn các mục “r” từ các đối tượng “n” khi cho phép lặp lại.

Ví dụ: Có bao nhiêu từ gồm 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ KHÓI khi cho phép lặp lại các từ?

Giải pháp:

Số đối tượng, trong trường hợp này, là 5, vì từ SMOKE có 5 bảng chữ cái.

và r = 3, vì từ có 3 chữ cái phải được chọn.

Do đó, hoán vị sẽ là:

Hoán vị (khi cho phép lặp lại) = 53 = 125

Hoán vị của nhiều tập hợp

Hoán vị của n đối tượng khác nhau khi p1các đối tượng trong số các đối tượng ‘ n ‘ là tương tự,p2 các đối tượng của loại thứ hai tương tự, p3 các đối tượng của loại thứ ba tương tự ……… và như vậy, pk các đối tượng thuộc loại thứ k tương tự nhau và các đối tượng còn lại thuộc loại khác,

Do đó, nó tạo thành một tập đa, trong đó hoán vị được cho là:

n !p1!p2!p3… . .pn! 

Sự khác biệt giữa Hoán vị và Kết hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị và kết hợp được đưa ra dưới đây:

Nguyên tắc đếm cơ bản

Theo nguyên tắc này, “Nếu một phép toán có thể được thực hiện theo ‘m’ cách và có n cách thực hiện phép toán thứ hai, thì số cách thực hiện hai phép toán đó cùng nhau là mxn”.

Nguyên tắc này có thể được mở rộng cho trường hợp trong đó các phép toán khác nhau được thực hiện trong m, n, p,. . . . . . các cách.

Trong trường hợp này, số cách thực hiện tất cả các thao tác lần lượt là mxnxpx. . . . . . . . và như thế