Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Hoán vị là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Một hoán vị là một sự sắp xếp của các đối tượng theo một thứ tự nhất định. Các thành viên hoặc phần tử của tập hợp được sắp xếp ở đây theo một trình tự hoặc thứ tự tuyến tính. Ví dụ, hoán vị của tập A = {1,6} là 2, chẳng hạn như {1,6}, {6,1}. Như bạn thấy, không có cách nào khác để sắp xếp các phần tử của tập A.

Trong hoán vị, các phần tử nên được sắp xếp theo một thứ tự cụ thể trong khi kết hợp thứ tự của các phần tử không quan trọng.Khi chúng tôi xem lịch trình của xe lửa, xe buýt và các chuyến bay, chúng tôi thực sự tự hỏi chúng được lên lịch như thế nào để thuận tiện cho công chúng. Tất nhiên, hoán vị rất hữu ích để chuẩn bị lịch trình khởi hành và đến của chúng. Ngoài ra, khi chúng ta bắt gặp biển số xe bao gồm một vài chữ cái và chữ số. Chúng ta có thể dễ dàng chuẩn bị các mã này bằng cách sử dụng hoán vị.

hoán vị
hoán vị

Định nghĩa của Hoán vị

Về cơ bản Hoán vị là sự sắp xếp các đối tượng theo một cách hoặc một thứ tự cụ thể. Trong khi giải quyết vấn đề hoán vị, người ta nên quan tâm đến việc lựa chọn cũng như sắp xếp. Tóm lại, thứ tự là rất cần thiết trong hoán vị. Nói cách khác, hoán vị được coi như một tổ hợp có thứ tự.

Các phân số không thích hợp 

Biểu diễn Hoán vị

Chúng ta có thể biểu diễn hoán vị theo nhiều cách, chẳng hạn như:

  • )
  • Pnk
  • nPk
  • nPk
  • Pnk

Công thức

Công thức hoán vị của n đối tượng để chọn r đối tượng được cho bởi:
P (n, r) = n! / (Nr)!
Ví dụ, số lượng cách vị trí thứ 3 và thứ 4 có thể được trao cho 10 thành viên là:
P (10, 2) = 10! / (10-2)! = 10! / 8! = (10,9,8!) / 8! = 10 x 9 = 90

Các loại hoán vị

Hoán vị có thể được phân loại thành ba loại khác nhau:

  • Hoán vị của n đối tượng khác nhau (khi không được phép lặp lại)
  • Lặp lại, nơi cho phép lặp lại
  • Hoán vị khi các đối tượng không khác nhau (Hoán vị của nhiều tập hợp)

Hãy để chúng tôi hiểu tất cả các trường hợp hoán vị một cách chi tiết.

Hoán vị của n đối tượng khác nhau

Nếu n là một số nguyên dương và r là một số nguyên , sao cho r <n, thì P (n, r) biểu thị số tất cả các cách sắp xếp hoặc hoán vị có thể có của n đối tượng riêng biệt được lấy r tại một thời điểm. Trong trường hợp hoán vị mà không lặp lại, số lượng các lựa chọn có sẵn sẽ giảm đi mỗi lần. Nó cũng có thể được biểu diễn dưới dạng:

nPr.

P (n, r) = n (n-1) (n-2) (n-3) …… .. tối đa r thừa số

 P (n, r) = n (n-1) (n-2) (n-3) …… .. (n – r +1)

⇒ P=!– !

Ở đây, “ n P r ” đại diện cho các đối tượng “n” được chọn từ các đối tượng “r” mà không lặp lại, trong đó thứ tự quan trọng.

Ví dụ: Có bao nhiêu từ gồm 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ SWING khi không được phép lặp lại các chữ cái?

Giải: Ở đây n = 5, vì từ SWING có 5 chữ cái. Vì chúng ta phải đóng khung 3 từ chữ cái có hoặc không có nghĩa và không có sự lặp lại, do đó tổng số hoán vị có thể là:

⇒ P=!– !=× × × × 1× 160

Hoán vị khi cho phép lặp lại

Chúng ta có thể dễ dàng tính toán hoán vị với sự lặp lại. Hoán vị có lặp lại các đối tượng có thể được viết bằng cách sử dụng dạng lũy ​​thừa.

Khi số đối tượng là “n” và chúng ta có “r” là lựa chọn đối tượng, thì;

Chọn một đối tượng có thể theo n cách khác nhau (mỗi lần).

Do đó, hoán vị của các đối tượng khi cho phép lặp lại sẽ bằng,

n × n × n × …… (r lần) = r

Đây là công thức hoán vị để tính số hoán vị khả thi cho việc lựa chọn các mục “r” từ các đối tượng “n” khi cho phép lặp lại.

Ví dụ: Có bao nhiêu từ gồm 3 chữ cái có hoặc không có nghĩa có thể được tạo thành từ các chữ cái của từ KHÓI khi cho phép lặp lại các từ?

Giải pháp:

Số đối tượng, trong trường hợp này, là 5, vì từ SMOKE có 5 bảng chữ cái.

và r = 3, vì từ có 3 chữ cái phải được chọn.

Do đó, hoán vị sẽ là:

Hoán vị (khi cho phép lặp lại) = 53 = 125

Hoán vị của nhiều tập hợp

Hoán vị của n đối tượng khác nhau khi p1các đối tượng trong số các đối tượng ‘ n ‘ là tương tự,p2 các đối tượng của loại thứ hai tương tự, p3 các đối tượng của loại thứ ba tương tự ……… và như vậy, pk các đối tượng thuộc loại thứ k tương tự nhau và các đối tượng còn lại thuộc loại khác,

Do đó, nó tạo thành một tập đa, trong đó hoán vị được cho là:

!p1!p2!p3… .pn! 

Sự khác biệt giữa Hoán vị và Kết hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị và kết hợp được đưa ra dưới đây:

Hoán vị Sự phối hợp
Hoán vị nghĩa là lựa chọn các đối tượng, trong đó thứ tự lựa chọn quan trọng Sự kết hợp có nghĩa là lựa chọn các đối tượng, trong đó thứ tự lựa chọn không quan trọng.
Nói cách khác, đó là sự sắp xếp của r đối tượng lấy ra từ n đối tượng. Nói cách khác, nó là sự lựa chọn của r đối tượng được lấy ra từ n đối tượng mà không phụ thuộc vào cách sắp xếp đối tượng.
Công thức hoán vị là

n P r = n! / (nr)!

Công thức kết hợp là

n C r = n! / [r! (nr)!]

Nguyên tắc đếm cơ bản

Theo nguyên tắc này, “Nếu một phép toán có thể được thực hiện theo ‘m’ cách và có n cách thực hiện phép toán thứ hai, thì số cách thực hiện hai phép toán đó cùng nhau là mxn”.

Nguyên tắc này có thể được mở rộng cho trường hợp trong đó các phép toán khác nhau được thực hiện trong m, n, p,. . . . . . các cách.

Trong trường hợp này, số cách thực hiện tất cả các thao tác lần lượt là mxnxpx. . . . . . . . và như thế

Các ví dụ đã giải quyết

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 6 con thành một dòng, sao cho

(i) Hai đứa con đặc biệt của họ luôn ở bên nhau

(ii) Hai người con cụ thể của họ không bao giờ ở cùng nhau

Giải pháp:

(i) Điều kiện đã cho nói rằng 2 sinh viên cần phải ở cùng nhau, do đó chúng ta có thể coi họ là 1.

Do đó, số 7 còn lại cho ta sự sắp xếp trong 5! cách, tức là 120.

Ngoài ra, hai trẻ em trong một hàng có thể được sắp xếp thành 2! Các cách.

Do đó, tổng số cách sắp xếp sẽ là,

5! × 2! = 120 × 2 = 240 cách

(ii) Tổng số cách sắp xếp của 6 em sẽ là 6!, tức là 720 cách.

Trong tổng số sắp xếp, chúng ta biết rằng hai đứa trẻ cụ thể khi ở cùng nhau có thể được sắp xếp theo 240 cách.

Do đó, tổng số cách sắp xếp của những đứa trẻ trong đó hai đứa trẻ cụ thể không bao giờ ở cùng nhau sẽ là 720 – 240 cách, tức là 480 cách.

Ví dụ 2: Xét một tập hợp có 5 phần tử a, b, c, d, e. Có bao nhiêu cách chọn 3 phần tử (không lặp lại) trong tổng số phần tử.

Giải: Cho X = {a, b, c, d, e}

3 sẽ được chọn.

Vì thế, 5C310

Ví dụ 3: Phải xếp 5 nam và 4 nữ ngồi liên tiếp sao cho nữ chiếm chỗ chẵn. Có bao nhiêu cách sắp xếp như vậy?

Bài giải: Ta cho rằng có 5 nam và 4 nữ.

tức là có 9 vị trí.

Các vị trí chẵn là: vị trí thứ 2, 4, 6 và 8

Bốn nơi này có thể được chiếm bởi 4 phụ nữ theo cách P (4, 4) = 4!

= 4. 3. 2. 1

= 24 cách

5 vị trí còn lại có thể được chiếm bởi 5 người đàn ông trong P (5, 5) = 5!

= 5.4.3.2.1

= 120 cách

Do đó, theo Nguyên tắc Đếm Cơ bản,

Tổng số cách sắp xếp chỗ ngồi = 24 x 120

= 2880

Vấn đề thực hành

Thực hành các vấn đề được liệt kê dưới đây:

  1. Có thể tạo ra bao nhiêu số nằm trong khoảng từ 100 đến 1000 với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, nếu sự lặp lại của các chữ số không được phép.
  2. Bảy vận động viên đang tham gia một cuộc đua. Ba giải nhất có thể đạt được bao nhiêu cách.

Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp

Hoán vị là gì?

Hoán vị là một cách thay đổi hoặc sắp xếp các phần tử hoặc đối tượng theo một trật tự tuyến tính.

Công thức cho hoán vị là gì?

Công thức hoán vị cho n đối tượng lấy r tại một thời điểm được cho bởi:
P (n, r) = n! / (Nr)!

Các dạng hoán vị là gì?

Sự hoán vị của một sự sắp xếp các đối tượng hoặc các phần tử theo thứ tự, phụ thuộc vào ba điều kiện:
Khi không cho phép
lặp lại các phần tử Khi cho phép lặp lại các phần tử
Khi các phần tử của một tập hợp không khác biệt

Công thức hoán vị khi cho phép lặp lại là gì?

Gọi n là số đối tượng và r là lựa chọn đối tượng, sau đó nếu cho phép lặp lại, hoán vị của các đối tượng sẽ là n × n × n × …… (r lần) = n ^ r

Hoán vị cho nhiều tập là gì?

Công thức hoán vị cho các tập đa mà tất cả các phần tử không khác biệt được đưa ra bởi: n! / (P1! P2!… Pn!)
Xem thêm:
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x