Thứ tự của phương trình vi phân: –
Phương trình vi phân được phân loại trên cơ sở thứ tự. Bậc của một phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cao nhất (còn được gọi là hệ số vi phân) có trong phương trình.
Ví dụ (i): d3xdx3+ 3 xdYdx=eY
Trong phương trình này, bậc của đạo hàm cao nhất là 3 do đó, đây là một phương trình vi phân bậc ba.
Ví dụ (ii): –(d2Ydx2)4+dYdx= 3
Phương trình này biểu diễn một phương trình vi phân bậc hai.
Bằng cách này, chúng ta có thể có các phương trình vi phân bậc cao hơn tức là nt h phương trình vi phân bậc.
Phương trình vi phân bậc nhất:
Bậc của đạo hàm cao nhất trong trường hợp phương trình vi phân cấp một là 1. Một phương trình vi phân tuyến tính có bậc 1. Trong trường hợp phương trình vi phân tuyến tính, đạo hàm cấp một là đạo hàm cấp cao nhất.
dYdx+ PY= Q
P và Q chỉ là hằng số hoặc hàm của biến độc lập.
Điều này đại diện cho một phương trình vi phân tuyến tính có bậc là 1.
Thí dụ: dYdx+ (x2+ 5 ) và=x5
Điều này cũng đại diện cho một phương trình vi phân bậc nhất.
Phương trình vi phân bậc hai:
Khi bậc của đạo hàm cao nhất hiện tại là 2, thì nó là một phương trình vi phân bậc hai.
Thí dụ: d2Ydx2+ (x3+ 3 x ) và= 9
Trong ví dụ này, bậc của đạo hàm cao nhất là 2. Do đó, nó là một phương trình vi phân bậc hai.
Mức độ của phương trình vi phân:
Bậc của phương trình vi phân được biểu diễn bằng lũy thừa của đạo hàm cấp cao nhất trong phương trình vi phân đã cho.
Phương trình vi phân phải là một phương trình đa thức trong đạo hàm đối với bậc được xác định.
Ví dụ 1:- d4Ydx4+ (d2Ydx2)2– 3dYdx+ và= 9
Ở đây, số mũ của đạo hàm cấp cao nhất là một và phương trình vi phân đã cho là một phương trình đa thức trong đạo hàm. Do đó, bậc của phương trình này là 1.
Ví dụ 2: [d2Ydx2+ (dYdx)2]4=k2(d3Ydx3)2
Bậc của phương trình này là 3 và bậc là 2 vì đạo hàm cao nhất là bậc 3 và số mũ được nâng lên đạo hàm cao nhất là 2.
Khi Bậc của phương trình vi phân không được xác định?
Không phải lúc nào ta cũng có thể tìm được bậc của phương trình vi phân đã cho. Bậc của bất kỳ phương trình vi phân nào có thể được tìm thấy khi nó ở dạng một đa thức; nếu không, mức độ không thể được xác định.
Giả sử trong phương trình vi phân dy / dx = tan (x + y), bậc là 1, trong khi đối với phương trình vi phân tan (dy / dx) = x + y, bậc không được xác định. Loại phương trình vi phân này có thể được quan sát với các hàm lượng giác khác như sin, cosine, v.v.
Chúng ta hãy xem thêm một số ví dụ về tìm bậc và bậc của phương trình vi phân.
Ví dụ 3: – d2Ydx2+ c o sd2Ydx2= 5 x
Phương trình vi phân đã cho không phải là phương trình đa thức trong đạo hàm. Do đó, bậc của phương trình này không được xác định.
Ví dụ 4: – (d3Ydx3)2+ và= 0
Bậc của phương trình này là 3 và bậc là 2.
Ví dụ 5: – Tìm ra bậc và bậc của phương trình vi phân có thể được hình thành từ phương trình 1 –x2—-√+1 –Y2—-√= k ( x – y).
Giải pháp:-
Để cho x = s i n θ , y= s tôi n ϕ
Vì vậy, phương trình đã cho có thể được viết lại thành
1 – s i nθ2——-√+1 – s i nϕ2——-√= k ( s i n θ – s i n ϕ )
⇒ ( c o s θ + c o s ϕ ) = k ( s i n θ – s i n ϕ )
⇒ 2 c o sθ + ϕ2c o sθ – ϕ2= 2 k c o sθ + ϕ2vâng tôi nθ – ϕ2
c o tθ – ϕ2= k
θ – ϕ = 2 c ot– 1k
s tôin– 1x – s tôin– 1Y= 2 c ot– 1k
Phân biệt cả hai bên wrt x, chúng tôi nhận được
11 –x2√–11 –Y2√dYdx= 0
Vì vậy, bậc của phương trình vi phân là 1 và nó là một phương trình vi phân bậc nhất.
Lưu ý: Nếu DE trong đó hệ số vi phân có trong ngoặc đơn của bất kỳ hàm nào khác dưới dạng hợp số, thì trước tiên hãy cố gắng làm cho nó càng đơn giản càng tốt. Bây giờ, hãy kiểm tra xem nó có ở dạng một đa thức về mặt đạo hàm hay không. Nếu nó là một đa thức, bậc có thể được xác định.
Xem thêm:
