Lập luận Toán học là gì?
Suy luận toán học hay nguyên tắc lập luận toán học là một phần của toán học nơi chúng ta xác định các giá trị chân lý của các phát biểu đã cho. Những câu lý luận này phổ biến trong hầu hết các kỳ thi cạnh tranh như JEE và các câu hỏi này cực kỳ dễ dàng và thú vị để giải quyết. Hãy cùng chúng tôi hiểu suy luận trong toán học là gì trong bài viết này và biết cách giải các câu hỏi một cách dễ dàng.
Mục lục:
Các tuyên bố có thể chấp nhận về mặt toán học
Hãy xem xét Tuyên bố sau:
“Tổng của hai số nguyên tố luôn là số chẵn.”
Câu lệnh đã cho có thể đúng hoặc sai vì tổng của hai số nguyên tố có thể là số chẵn hoặc số lẻ. Những tuyên bố như vậy về mặt toán học không được chấp nhận để lập luận vì câu này không rõ ràng. Do đó, một câu chỉ được chấp nhận về mặt toán học khi nó là “Đúng hoặc sai, nhưng không đồng thời cả hai.” Do đó, thực thể cơ bản cần thiết cho suy luận toán học là một câu lệnh. Đây là định nghĩa phát biểu toán học.
Các dạng suy luận trong toán học
Về mặt toán học, suy luận có thể thuộc hai loại chính:
- Lập luận quy nạp
- Suy luận suy luận
Các loại suy luận khác là trực giác, tư duy phản thực tế, tư duy phản biện, quy nạp ngược và quy nạp kết quả. Đây là 7 kiểu lập luận được sử dụng để đưa ra quyết định. Tuy nhiên, trong toán học, lập luận quy nạp và suy diễn chủ yếu được sử dụng sẽ được thảo luận dưới đây.
Lưu ý: Lập luận quy nạp là lập luận logic không chặt chẽ và các phát biểu chỉ mang tính khái quát. Mặt khác, suy luận suy diễn là suy luận logic chặt chẽ, và các phát biểu được coi là đúng nếu các giả định đưa vào suy luận là đúng. Vì vậy, trong toán học, suy luận suy luận được coi là quan trọng hơn quy nạp.
Lập luận quy nạp
Trong phương pháp quy nạp của suy luận toán học, tính hợp lệ của phát biểu được kiểm tra bằng một bộ quy tắc nhất định và sau đó nó được tổng quát hóa. Các nguyên tắc quy nạp toán học sử dụng các khái niệm về lập luận quy nạp.
Vì suy luận quy nạp được khái quát nên nó không được xem xét trong các chứng minh hình học. Đây là một ví dụ sẽ giúp hiểu rõ hơn về lập luận quy nạp trong toán học.
- Ví dụ về lập luận quy nạp:
Báo cáo: Giá vốn hàng hóa là 10 Rs và chi phí lao động để sản xuất mặt hàng đó là Rs. 5. Giá bán của mặt hàng là Rs. 50.
Lý do: Từ nhận định trên, có thể nói rằng mặt hàng sẽ mang lại lợi nhuận tốt cho các cửa hàng bán nó.
Suy luận suy luận
Nguyên tắc chính của suy luận suy diễn là đối lập với nguyên tắc quy nạp. Ngược lại với suy luận quy nạp, trong suy luận suy diễn, chúng ta áp dụng các quy tắc của một trường hợp chung cho một phát biểu đã cho và làm cho nó đúng cho các phát biểu cụ thể. Nguyên tắc quy nạp toán học sử dụng khái niệm lập luận suy diễn (trái với tên gọi của nó). Ví dụ dưới đây sẽ giúp hiểu rõ hơn về khái niệm suy luận trong toán học.
- Ví dụ về lập luận suy luận:
Phát biểu: Định lý Pitago đúng với bất kỳ tam giác vuông nào.
Suy luận: Nếu tam giác XYZ là tam giác vuông thì nó sẽ tuân theo Định lý Pitago.
Các loại tuyên bố lập luận
Có ba kiểu lập luận chính:
- Câu lệnh đơn giản
- Câu lệnh tổng hợp
- Câu lệnh If-Then
Câu lệnh đơn giản
Câu lệnh đơn giản là những câu trực tiếp và không bao gồm bất kỳ bổ ngữ nào. Những câu này thoải mái hơn để giải quyết và không cần suy luận nhiều. Một ví dụ về một câu lệnh đơn giản là:
a: Mặt trời mọc ở hướng đông
Trong câu lệnh này, không có bổ ngữ và do đó nó có thể được kết luận một cách đơn giản là đúng.
Tuyên bố phức hợp
Với sự trợ giúp của một số kết nối nhất định, chúng ta có thể câu lạc bộ các câu lệnh khác nhau. Các câu lệnh như vậy được tạo thành từ hai hoặc nhiều câu lệnh được gọi là câu lệnh ghép. Các kết nối này có thể là “và”, “hoặc”, v.v.
Với sự trợ giúp của các phát biểu như vậy, khái niệm suy luận toán học có thể được thực hiện rất dễ dàng. Để hiểu rõ hơn, hãy xem xét ví dụ sau:
Phát biểu 1: Số chẵn chia hết cho 2
Câu lệnh 2: 2 cũng là một số chẵn
Hai câu này có thể được gộp chung với nhau thành:
Phát biểu hợp: Các số chẵn chia hết cho 2 và 2 cũng là một số chẵn
Bây giờ chúng ta hãy tìm các câu lệnh trong câu lệnh ghép đã cho:
Phát biểu hợp chất: Một tam giác có ba cạnh và tổng các góc trong của một tam giác là 180 °
Tuyên bố cho tuyên bố này là:
Phát biểu 1: Một tam giác có ba cạnh.
Phát biểu 2: Tổng các góc trong của một tam giác là 180 °.
Cả hai câu lệnh liên quan đến hình tam giác đều đúng về mặt toán học. Hai câu lệnh này được kết nối bằng cách sử dụng “và.”
Câu lệnh If-Then
Theo suy luận toán học, nếu chúng ta gặp một câu lệnh if-then tức là ‘nếu a thì b’, thì bằng cách chứng minh rằng a đúng, b có thể được chứng minh là đúng hoặc nếu chúng ta chứng minh rằng b là sai, thì a cũng sai. .
Nếu chúng ta gặp một câu lệnh có nội dung ‘a nếu và chỉ khi b’, thì chúng ta có thể đưa ra lý do cho câu lệnh như vậy bằng cách chỉ ra rằng nếu a đúng thì b cũng đúng và nếu b đúng thì a cũng đúng.
Thí dụ:
a: 8 là bội số của 64
b: 8 là hệ số của 64
Vì một trong các mệnh đề đã cho, nghĩa là a là đúng, do đó, a hoặc b là đúng.
Làm thế nào để suy luận các báo cáo toán học?
Để suy ra các báo cáo mới hoặc để thực hiện các khoản khấu trừ quan trọng từ các báo cáo đã cho, ba kỹ thuật thường được sử dụng:
- Phủ định của tuyên bố đã cho
- Phương pháp mâu thuẫn
- Tuyên bố phản đối
Chúng ta hãy xem xét cả hai phương pháp một.
Phủ định Tuyên bố Đã cho
Trong phương pháp này, chúng tôi tạo ra các câu lệnh mới từ các câu lệnh cũ bằng cách loại bỏ câu lệnh đã cho. Nói cách khác, chúng tôi phủ nhận câu lệnh đã cho và thể hiện nó như một câu lệnh mới. Hãy xem xét ví dụ sau để hiểu rõ hơn.
Phát biểu 1: “Tổng bình phương của hai số tự nhiên là dương.”
Bây giờ nếu chúng ta phủ nhận tuyên bố này thì chúng ta có,
Phát biểu 2: Tổng bình phương của hai số tự nhiên không dương.
Ở đây, bằng cách sử dụng “not” , chúng tôi đã phủ nhận câu lệnh đã cho và bây giờ điều sau có thể được suy ra từ sự phủ định của câu lệnh:
Tồn tại hai số mà bình phương của chúng không cộng lại với nhau để cho ra một số dương.
Đây là một tuyên bố “sai” vì bình phương của hai số tự nhiên sẽ là số dương.
Từ thảo luận trên, chúng tôi kết luận rằng nếu (1) là một phát biểu có thể chấp nhận được về mặt toán học thì sự phủ định của phát biểu 1 (ký hiệu là phát biểu 2) cũng là một phát biểu.
Phương pháp mâu thuẫn
Trong phương pháp này, chúng ta giả định rằng câu lệnh đã cho là sai và sau đó cố gắng chứng minh điều đó là sai.
Thí dụ:
a: Đạo hàm của y = 9x 2 + sin x wrt x là 18x + cos x.
Để chứng minh tính hợp lệ của phát biểu này, chúng ta hãy nói rằng dy / dx ≠ 18x + cos x. Chúng ta biết rằng đạo hàm của x n được cho bởi n • x n − 1 . Do đó, đạo hàm của 9x 2 là 18x và đạo hàm của sin x được cho bởi cos x.
Cũng thế,
d / dx (f (x) + g (x)) = df (x) / dx + dg (x) / dx
Do đó, d / dx (9x 2 + sin x) = 18x + cos x
Do đó, giả định của chúng tôi là sai và câu lệnh “a” là một câu lệnh hợp lệ.
Tuyên bố phản đối
Một phương pháp khác để chứng minh tính hợp lệ là sử dụng một câu lệnh phản bác tức là đưa ra một câu lệnh hoặc một ví dụ trong đó câu lệnh đã cho không hợp lệ.
Thí dụ:
a: Nếu x là số nguyên tố thì x luôn là số lẻ.
Để cho thấy rằng tuyên bố đã cho là sai, chúng tôi sẽ cố gắng tìm một tuyên bố phản bác cho điều này. Chúng ta biết rằng 2 là một số nguyên tố tức là nó chỉ chia hết cho chính nó và 1. Ngoài ra, 2 là số chẵn nhỏ nhất. Do đó, chúng ta có thể nói rằng 2 là một số nguyên tố chẵn. Do đó, chúng ta có thể nói rằng câu lệnh “a” không đúng với tất cả các số nguyên tố, do đó, câu lệnh đã cho không hợp lệ.
Câu hỏi ví dụ sử dụng nguyên tắc lập luận toán học
Câu hỏi 1:
Hãy xem xét tập hợp các câu lệnh sau và đề cập đến câu lệnh nào trong số này là các câu lệnh được chấp nhận về mặt toán học:
i) Mặt trời mọc ở hướng đông.
ii) New Delhi là một quốc gia.
iii) Hoa hồng đỏ đẹp hơn hoa hồng vàng.
Giải pháp:
Khi đọc câu đầu tiên, chúng ta có thể nói thẳng rằng câu đầu tiên chắc chắn là đúng và câu thứ hai chắc chắn là sai. Theo như tuyên bố thứ ba được xem xét, nó có thể phụ thuộc vào nhận thức của những người khác nhau. Do đó, nó có thể đúng với một số người và đồng thời sai với những người khác. Nhưng những tuyên bố mơ hồ như vậy không thể chấp nhận được đối với lập luận trong toán học.
Vì vậy, một câu chỉ được chấp nhận về mặt toán học khi nó đúng hoặc sai nhưng không đồng thời cả hai. Vì vậy, câu lệnh 1 và 2 là các câu lệnh được chấp nhận về mặt toán học trong khi câu lệnh 3 không được chấp nhận về mặt toán học.
Câu 2: Tổng của ba số tự nhiên x, y, z luôn âm.
Giải pháp:
Tuyên bố này có thể chấp nhận được. Nó không bao giờ có thể đúng vì tất cả các số tự nhiên đều lớn hơn 0 và do đó tổng các số dương không bao giờ có thể âm.
Câu 3: Tích của ba số thực x, y, z luôn bằng không.
Giải pháp:
Trong câu lệnh đã cho này, chúng ta không thể tìm ra câu lệnh đó đúng hay sai. Một câu như vậy là không thể chấp nhận được về mặt toán học để suy luận.
Câu 4: Kiểm tra xem hai phát biểu đã cho có đúng với nhau không.
a: Đường tròn có bán kính vô hạn là đường thẳng
b: Đường tròn không có bán kính là một điểm
Giải pháp:
Vì “a” đúng và “b” cũng đúng nên cả hai câu a và b cũng đúng.
Để hai mệnh đề a hoặc b đã cho là đúng, hãy chứng minh rằng a là đúng hoặc chứng minh rằng b là đúng, tức là nếu bất kỳ một mệnh đề nào trong số các mệnh đề là đúng thì a hoặc b cũng đúng.
Bây giờ bạn sẽ rõ cách sử dụng dạng kết hợp của câu lệnh và phủ định của một câu lệnh để suy ra kết quả.
Video Bài học- Tính hợp lệ của các câu lệnh
Để tìm hiểu thêm về chủ đề này, hãy đăng ký tại BYJU’S ngay và tải xuống BYJU’S- Ứng dụng Học tập.
Các câu hỏi thường gặp
Lập luận Toán học là gì?
Suy luận toán học là một trong những chủ đề trong toán học nơi tính hợp lệ của các tuyên bố được chấp nhận về mặt toán học được xác định bằng cách sử dụng các kỹ năng logic và Toán học.
Tại sao lý luận toán học lại quan trọng?
Suy luận toán học rất quan trọng vì nó giúp phát triển tư duy phản biện và hiểu Toán học theo cách có ý nghĩa hơn. Các khái niệm về lập luận không chỉ giúp học sinh hiểu sâu hơn về chủ đề mà còn giúp có một góc nhìn rộng hơn để đưa ra các phát biểu logic.
Các kiểu lập luận là gì?
Có hai kiểu lập luận chính trong Toán học:
- Lập luận quy nạp
- Suy luận suy diễn
