Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

loạt Fourier là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2022

Hầu hết các hiện tượng được nghiên cứu trong lĩnh vực Kỹ thuật và Khoa học đều có bản chất tuần hoàn. Ví dụ, dòng điện và hiệu điện thế trong mạch điện xoay chiều. Các hàm tuần hoàn này có thể được phân tích thành các thành phần cấu thành của chúng (các nguyên tố cơ bản và sóng hài) bằng một quá trình gọi là phân tích Fourier.Các chức năng tuần hoàn thường xuyên xảy ra trong các vấn đề được nghiên cứu trong quá trình giáo dục Kỹ thuật. Biểu diễn của chúng dưới dạng các hàm tuần hoàn đơn giản như hàm sin và hàm cosin , dẫn đến chuỗi Fourier (FS). Chuỗi Fourier là một công cụ rất mạnh liên quan đến các bài toán khác nhau liên quan đến phương trình đạo hàm riêng . Trong bài viết này, chúng ta hãy thảo luận về phân tích Fourier với các ví dụ.

Dòng Fourier là gì?

Chuỗi Fourier là một khai triển của hàm tuần hoàn f (x) dưới dạng tổng vô hạn của sin và cosin. Chuỗi Fourier sử dụng các mối quan hệ trực giao của các hàm sin và côsin.

Dòng Laurent Năng suất Dòng Fourier

Một điều khó hiểu và / hoặc thúc đẩy là thực tế là các hàm tuần hoàn tùy ý có biểu diễn chuỗi Fourier. Trong phần này, chúng tôi chứng minh rằng các hàm giải tích tuần hoàn có cách biểu diễn như vậy bằng cách sử dụng các mở rộng Laurent.

Phân tích Fourier cho các chức năng định kỳ

Biểu diễn chuỗi Fourier của các hàm giải tích được suy ra từ các khai triển Laurent. Phép phân tích phức cơ bản được sử dụng để thu được các kết quả cơ bản bổ sung trong phân tích điều hòa bao gồm biểu diễn các hàm tuần hoàn C∞ bằng chuỗi Fourier, biểu diễn các hàm giảm nhanh bằng tích phân Fourier và định lý lấy mẫu của Shannon. Những ý tưởng là cổ điển và vẻ đẹp siêu việt.

Đồ thị chuỗi Fourier
Sóng răng cưa dòng Fourier

Một hàm là tuần hoàn với chu kỳ L nếu f (x + L) = f (x) với mọi x thuộc miền của f. Giá trị dương nhỏ nhất của L được gọi là thời kỳ cơ bản.

Các hàm lượng giác sin x và cos x là ví dụ của các hàm số tuần hoàn với chu kỳ cơ bản 2π và tan x là tuần hoàn với chu kỳ cơ bản π. Hàm hằng là hàm tuần hoàn với chu kỳ L tùy ý.

Dễ dàng xác minh rằng nếu các hàm f1 ,. . . , fn là tuần hoàn của chu kỳ L, sau đó là bất kỳ kết hợp tuyến tính nào

c1f1) + … +cnfn)

cũng là định kỳ. Hơn nữa, nếu chuỗi vô hạn

12aO+1ansπxL+bnvâng tôi nπxL

bao gồm các hàm tuần hoàn 2L hội tụ với mọi x, thì hàm mà nó hội tụ sẽ có chu kỳ 2L. Có hai tính chất đối xứng của các hàm sẽ hữu ích trong việc nghiên cứu chuỗi Fourier.

Hàm chẵn và lẻ

Một hàm f (x) được cho là chẵn nếu f (−x) = f (x).

Hàm f (x) được cho là hàm lẻ nếu f (−x) = −f (x).

Về mặt đồ thị, hàm số chẵn có đối xứng qua trục y, ngược lại hàm số lẻ có đối xứng quanh gốc tọa độ.

Dòng Fourier - Hàm chẵn và lẻ

Ví dụ :

Tổng lũy ​​thừa của x là số lẻ: 5x 3 – 3x

Tổng các lũy thừa của x là số chẵn: −x 6 + 4x 4 + x 2 – 3

Vì x là số lẻ và cos x là số chẵn

Dòng Fourier - Ví dụ

Tích của hai hàm lẻ là chẵn: x sin x chẵn

Tích của hai hàm số chẵn là: x 2 cos x chẵn

Tích của một hàm chẵn và một hàm lẻ là

lẻ: sin x cos x là lẻ

Ghi chú:

Để tìm một chuỗi Fourier, chỉ cần tính các tích phân cung cấp các hệ số a 0 , a n và b n và đưa chúng vào công thức chuỗi lớn.

Thông thường, f (x) sẽ được xác định theo từng phần.

Ưu điểm lớn mà chuỗi Fourier có hơn chuỗi Taylor: hàm f (x) có thể có gián đoạn.

Công thức chuỗi Fourier

Công thức cho chuỗi fourier của hàm f (x) trong khoảng [-L, L], tức là -L ≤ x ≤ L được cho bởi:

Công thức chuỗi Fourier
Các công thức chuỗi Fourier ở trên  giúp giải các dạng bài toán khác nhau một cách dễ dàng.

Ví dụ về chuỗi Fourier

Ví dụ: Xác định chuỗi fourier của hàm số f (x) = 1 – x 2 trong khoảng [-1, 1].

Giải pháp:

Được,

f (x) = 1 – x 2 ; [-1, 1]

Chúng ta biết rằng, chuỗi fourier của hàm f (x) trong khoảng [-L, L], tức là -L ≤ x ≤ L được viết là:

Ví dụ về chuỗi Fourier

Các ứng dụng

Chuỗi Fourier có nhiều ứng dụng trong phân tích toán học vì nó được định nghĩa là tổng của nhiều sin và cosin. Do đó, nó có thể dễ dàng phân biệt và tích hợp, thường phân tích các chức năng như sóng cưa là tín hiệu tuần hoàn trong thí nghiệm. Nó cũng cung cấp một cách tiếp cận phân tích để giải quyết vấn đề gián đoạn. Trong giải tích, điều này giúp giải các phương trình vi phân phức tạp.

Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp

Công thức Dòng Fourier là gì?

Công thức cho chuỗi fourier của hàm f (x) trong khoảng [-L, L], tức là -L ≤ x ≤ L được cho bởi:
f (x) = A_0 + ∑_ {n = 1} ^ { ∞} A_n cos (nπx / L) + ∑_ {n = 1} ^ {∞} B_n sin (nπx / L)

Chuỗi Fourier được sử dụng để làm gì?

Chuỗi Fourier được sử dụng để mô tả một tín hiệu tuần hoàn dưới dạng sóng cosine và sin. Nói cách khác, nó cho phép chúng ta lập mô hình bất kỳ tín hiệu tuần hoàn tùy ý nào với sự kết hợp của sin và cosin.

Làm thế nào để bạn giải quyết một chuỗi Fourier?

Các bước cần thực hiện để giải một chuỗi Fourier được đưa ra dưới đây:
Bước 1: Nhân hàm đã cho với sin hoặc cosin, sau đó tích phân
Bước 2: Ước lượng cho n = 0, n = 1, v.v., để nhận giá trị của các hệ số .
Bước 3: Cuối cùng, thay thế tất cả các hệ số trong công thức Fourier.

2 loại chuỗi Fourier là gì?

Hai loại chuỗi Fourier là chuỗi lượng giác và chuỗi số mũ.

Chuỗi Fourier có nghĩa là gì?

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/10/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.gif
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x