Trong đó b là cơ số của hàm số lôgarit.
Lịch sử
John Napier đưa ra khái niệm Logarit vào thế kỷ 17. Sau đó, nó được sử dụng bởi nhiều nhà khoa học, nhà hàng hải, kỹ sư, v.v. để thực hiện các phép tính khác nhau khiến nó trở nên đơn giản. Nói một cách đơn giản, Logarit là quá trình nghịch đảo của lũy thừa. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét chi tiết định nghĩa, tính chất và ví dụ của logarit.
Định nghĩa lôgarit
Một logarit được định nghĩa là lũy thừa mà số phải được nâng lên để nhận một số giá trị khác. Đó là cách thuận tiện nhất để thể hiện số lượng lớn . Lôgarit có nhiều tính chất quan trọng khác nhau chứng minh phép nhân và chia lôgarit cũng có thể được viết dưới dạng lôgarit của phép cộng và phép trừ.
“Lôgarit của một số thực dương a đối với cơ số b, một số thực dương không bằng 1 [nb 1] , là số mũ mà b phải được nâng lên để thu được a”.
tức là b y = a và nó được đọc là “logarit của a với cơ số b.”
Nói cách khác, lôgarit đưa ra câu trả lời cho câu hỏi “Nhân một số lên bao nhiêu lần để được số kia?”.
Ví dụ, nhân 3 với bao nhiêu để có câu trả lời là 27?
Nếu chúng ta nhân 3 với 3 lần, chúng ta sẽ có câu trả lời là 27.
Do đó, logarit là 3.
Dạng logarit được viết như sau:
Nhật ký 3 (27) = 3…. (1)
Do đó, logarit cơ số 3 của 27 là 3.
Dạng logarit trên cũng có thể được viết dưới dạng:
3x3x3 = 27
3 3 = 27… .. (2)
Do đó, các phương trình (1) và (2) đều biểu thị cùng một ý nghĩa.
Các loại lôgarit
Trong hầu hết các trường hợp, chúng tôi luôn xử lý hai loại logarit khác nhau, đó là
- Lôgarit chung
- Logarit tự nhiên
Lôgarit chung
Lôgarit chung còn được gọi là lôgarit cơ số 10. Nó được biểu diễn dưới dạng nhật ký 10 hoặc đơn giản là nhật ký. Ví dụ, logarit chung của 1000 được viết dưới dạng log (1000). Lôgarit chung xác định số lần chúng ta phải nhân với số 10 để có được kết quả đầu ra cần thiết.
Ví dụ: log (100) = 2
Nếu nhân số 10 hai lần, ta được kết quả là 100.
Logarit tự nhiên
Lôgarit tự nhiên được gọi là lôgarit cơ số e. Lôgarit tự nhiên được biểu diễn dưới dạng ln hoặc log e . Ở đây, “e” đại diện cho hằng số Euler xấp xỉ bằng 2,71828. Ví dụ, lôgarit tự nhiên của 78 được viết là ln 78. Lôgarit tự nhiên xác định số lượng chúng ta phải nhân “e” để có được kết quả đầu ra cần thiết.
Ví dụ, ln (78) = 4,357.
Như vậy, logarit cơ số e của 78 bằng 4,357.
Các quy tắc và thuộc tính lôgarit
Có một số quy tắc nhất định dựa trên đó các phép toán logarit có thể được thực hiện. Tên của các quy tắc này là:
- Quy tắc nhân
- Quy tắc phân chia
- Quy tắc lũy thừa / Quy tắc mũ
- Thay đổi quy tắc cơ sở
- Quy tắc chuyển đổi cơ sở
- Đạo hàm của nhật ký
- Tích phân của nhật ký
Quy tắc nhân
Trong quy tắc này, phép nhân hai giá trị logarit bằng phép cộng các logarit riêng lẻ của chúng.
Log b (mn) = log b m + log b n
Ví dụ: log 3 (2y) = log 3 (2) + log 3 (y)
Quy tắc phân chia
Phép chia hai giá trị lôgarit bằng hiệu của mỗi lôgarit.
Log b (m / n) = log b m – log b n
Ví dụ: log 3 (2 / y) = log 3 (2) -log 3 (y)
Quy tắc mũ
Trong quy tắc mũ, logarit của m với một số mũ hữu tỉ bằng số mũ nhân với logarit của nó.
Log b (m n ) = n log b m
Ví dụ: log b (2 3 ) = 3 log b 2
Thay đổi Quy tắc Cơ sở
Log b m = log a m / log a b
Ví dụ: log b 2 = log a 2 / log a b
Quy tắc chuyển đổi cơ sở
log b (a) = 1 / log a (b)
Ví dụ: log b 8 = 1 / log 8 b
Đạo hàm của nhật ký
Nếu f (x) = log b (x), thì đạo hàm của f (x) được cho bởi;
f ‘(x) = 1 / (x ln (b))
Ví dụ: Cho trước, f (x) = log 10 (x)
Khi đó, f ‘(x) = 1 / (x ln (10))
Tích phân của nhật ký
∫log b (x) dx = x (log b (x) – 1 / ln (b)) + C
Ví dụ: ∫ log 10 (x) dx = x ∙ (log 10 (x) – 1 / ln (10)) + C
Các tài sản khác
Một số tính chất khác của hàm số lôgarit là:
- Nhật ký b b = 1
- Nhật ký b 1 = 0
- Nhật ký b 0 = không xác định
Công thức lôgarit
log b (mn) = log b (m) + log b (n)
log b (m / n) = log b (m) – log b (n)
Log b (x y ) = y log b (x)
Log b m √n = log b n / m
m log b (x) + n log b (y) = log b (x m y n )
log b (m + n) = log b m + log b (1 + nm)
log b (m – n) = log b m + log b (1-n / m)
Ví dụ về lôgarit
Câu 1: Giải log 2 (64) =?
Giải pháp:
vì 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 nên 6 là giá trị lũy thừa và log 2 (64) = 6.
Câu 2: Giá trị của log 10 (100) là bao nhiêu?
Giải pháp:
Trong trường hợp này, 10 2 mang lại cho bạn 100. Vì vậy, 2 là giá trị số mũ và giá trị của log 10 (100) = 2
Câu 3: Sử dụng tính chất của logarit, giải tìm giá trị của x để log 3 x = log 3 4+ log 3 7
Giải pháp:
Theo quy tắc cộng, log 3 4+ log 3 7 = log 3 (4 * 7)
Nhật ký 3 (28). Như vậy, x = 28.
Câu 4: Giải tìm x trong log 2 x = 5
Giải pháp:
Hàm logarit này có thể được viết dưới dạng hàm mũ dưới dạng 2 5 = x
Do đó, 2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, X = 32.
Ứng dụng Logarit
Logarit ngày nay được sử dụng rộng rãi trong lĩnh vực khoa học và công nghệ. Chúng tôi thậm chí có thể tìm thấy các máy tính lôgarit đã làm cho việc tính toán của chúng tôi trở nên dễ dàng hơn nhiều. Những ứng dụng của nó trong các mục đích khảo sát và điều hướng thiên thể. Chúng cũng được sử dụng trong các tính toán như đo độ ồn (decibel), cường độ của trận động đất theo thang độ Richter, trong phân rã phóng xạ, để tìm độ axit (pH = -log10 [H +]), v.v.
Các câu hỏi thường gặp về Logarit
Logarit nghĩa là gì?
Lôgarit được định nghĩa là lũy thừa mà một số phải được nâng lên để nhận một số giá trị khác. Nói cách khác, nó đưa ra câu trả lời cho câu hỏi “Nhân một số lên bao nhiêu lần để được số kia?”. Lôgarit của một số được biểu thị dưới dạng
log b x = y
Hai dạng khác nhau của một lôgarit là gì?
Hai loại logarit phổ biến nhất là:
Logarit chung (hoặc) Logarit cơ số 10 Logarit
tự nhiên (hoặc) Logarit cơ số e
Đề cập đến hai tính chất bất kỳ của lôgarit?
Hai tính chất quan trọng của logarit là:
Log b (mn) = log b m + log b n
Log b (m / n) = log b m – log b n
Lôgarit của 0 là gì?
Lôgarit của 0 là không xác định. Bởi vì, chúng ta không bao giờ nhận được giá trị 0, bằng cách nâng bất kỳ giá trị nào lên bằng sức mạnh của bất kỳ thứ gì khác.
Lôgarit của 10 là gì?
Logarit của 10 là 1. (tức là) log 10 10 = 1. Do đó, logarit cơ số 10 của 10 là 1.
Xem thêm:
