Ma trận nghịch đảo
Nếu A là một ma trận vuông không kỳ dị thì tồn tại nxn ma trận A -1 , ma trận này được gọi là ma trận nghịch đảo của A sao cho nó thỏa mãn tính chất:
AA -1 = A -1 A = I, trong đó I là ma trận nhận dạng
Ma trận nhận dạng cho ma trận 2 x 2 được cho bởi
Cần lưu ý rằng để tìm ma trận nghịch đảo, ma trận vuông phải là số không mà giá trị định thức của nó không bằng không.
Chúng ta hãy lấy ma trận vuông A
Trong đó a, b, c và d đại diện cho một số.
Định thức của ma trận A được viết dưới dạng ad-bc, trong đó giá trị của định thức không được bằng 0 để tồn tại nghịch đảo . Ma trận nghịch đảo có thể được tìm thấy cho các ma trận 2 × 2, 3 × 3,… n × n. Tìm nghịch đảo của một ma trận 3 × 3 là một chút nhiều khó khăn hơn so với việc tìm kiếm các phần tử nghịch đảo của 2 × 2 ma trận .
Phương pháp ma trận nghịch đảo
Nghịch đảo của ma trận có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng ba phương pháp khác nhau. Tuy nhiên, bất kỳ phương pháp nào trong ba phương pháp này sẽ cho ra kết quả giống nhau.
Phương pháp 1:
Tương tự, chúng ta có thể tìm nghịch đảo của ma trận 3 × 3 bằng cách tìm giá trị định thức của ma trận đã cho.
Phương pháp 2:
Một trong những phương pháp quan trọng nhất để tìm ra nghịch đảo ma trận liên quan đến việc tìm các phần tử nhỏ và đồng yếu tố của các phần tử của ma trận đã cho. Hãy quan sát các bước dưới đây để hiểu rõ về phương pháp này.
- Các ma trận nghịch đảo cũng được tìm thấy bằng cách sử dụng phương trình sau:
A -1 = adj (A) / det (A),
w here adj (A) đề cập đến phần tử của ma trận A, det (A) đề cập đến định thức của ma trận A.
- Phần kề của ma trận A hoặc adj (A) có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp sau.
Để tìm phần phụ của ma trận A, trước tiên hãy tìm ma trận co yếu tố của một ma trận đã cho và sau đó
lấy chuyển vị của một ma trận cofactor.
- Hệ số của ma trận có thể nhận được là
C ij = (-1) ij det (M ij )
Ở đây, M ij đề cập đến ma trận nhỏ thứ (i, j) sau khi loại bỏ hàng thứ i và cột thứ j . Bạn cũng có thể nói rằng chuyển vị của một ma trận cofactor còn được gọi là phần phụ của ma trận A.
Tương tự, chúng ta cũng có thể tìm nghịch đảo của ma trận 3 x 3 . Ở đây, bước đầu tiên sẽ là tìm định thức, tiếp theo là bước tiếp theo – Transpose.
Phương pháp 3:
Tìm một ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi cơ bản
Ta xét ba ma trận X, A và B sao cho X = AB. Để xác định nghịch đảo của ma trận bằng phép biến đổi cơ bản, chúng ta chuyển ma trận đã cho thành ma trận nhận dạng. Tìm hiểu thêm về cách thực hiện các phép biến đổi cơ bản của ma trận tại đây.
Nếu nghịch đảo của ma trận A, A -1 tồn tại thì để xác định A -1 bằng các phép toán hàng sơ cấp
- Viết A = IA, trong đó I là ma trận nhận dạng cùng bậc với A.
- Áp dụng một chuỗi các phép toán hàng cho đến khi chúng ta nhận được một ma trận nhận dạng trên LHS và sử dụng các phép toán cơ bản tương tự trên RHS để có được I = BA. Ma trận B trên RHS là nghịch đảo của ma trận A.
- Để tìm nghịch đảo của A bằng các phép toán cột, hãy viết A = IA và áp dụng các phép toán cột tuần tự cho đến khi thu được I = AB, trong đó B là ma trận nghịch đảo của A.
Nghịch đảo của một công thức ma trận
Để cho A = [acbd]là ma trận 2 x 2. Ma trận nghịch đảo của A được cho bởi công thức,
A– 1=1một d– b c[d– c– ba]Để cho A =⎡⎣⎢a11a21a31a12a22a32a13a23a33⎤⎦⎥là ma trận 3 x 3. Ma trận nghịch đảo là:
Ví dụ về Ma trận nghịch đảo 2 x 2
Để hiểu rõ hơn về khái niệm này, chúng ta hãy xem ví dụ sau.
Ví dụ : Tìm nghịch đảo của ma trận A cho dưới đây:
Ví dụ về ma trận nghịch đảo 3 x 3
Vấn đề :
Giải pháp :
Định thức của ma trận đã cho là
Hãy để chúng tôi tìm các con của ma trận đã cho như dưới đây:
Bây giờ, hãy tìm phần phụ của một ma trận bằng cách lấy chuyển vị của các đồng yếu tố của ma trận đã cho.
Hiện nay,
A -1 = (1 / | A |) Cho A
Do đó, nghịch đảo của ma trận đã cho là:
Tính chất
Một vài tính chất quan trọng của ma trận nghịch đảo được liệt kê dưới đây.
- Nếu A là nonsingular thì (A -1 ) -1 = A
- Nếu A và B là ma trận nonsingular thì AB là nonsingular. Do đó, (AB) -1 = B -1 A -1
- Nếu A là nonsingular thì (A T ) -1 = (A -1 ) T
- Nếu A là ma trận bất kỳ và A -1 là nghịch đảo của nó, thì AA -1 = A -1 A = I n , với n là bậc của ma trận
Vấn đề thực hành
- Tìm nghịch đảo của ma trận ⎡⎣⎢1342– 21311⎤⎦⎥.
- Lấy nghịch đảo của ma trận A = ⎡⎣⎢013121231⎤⎦⎥ sử dụng các phép toán sơ cấp.
- Nghịch đảo của ma trận là gì [1324]?