Contents
Định nghĩa quan hệ lặp lại
Khi chúng ta nói về một mẫu chuẩn, tất cả các thuật ngữ trong quan hệ hoặc phương trình đều có các đặc điểm giống nhau. Nó có nghĩa là nếu có một giá trị là ‘n’, nó có thể được sử dụng để xác định các giá trị khác bằng cách chỉ cần nhập giá trị của ‘n’.
Giá trị của n phải được sắp xếp và chính xác, được gọi là dạng Đơn giản nhất. Trong trường hợp dạng đơn giản nhất của bất kỳ quan hệ nào như vậy, số hạng tiếp theo chỉ phụ thuộc vào số hạng trước đó. Trình tự hoặc chuỗi được tạo bởi quan hệ lặp lại được gọi là Trình tự lặp lại .
Ngoài ra, hãy đọc:
|
Công thức quan hệ lặp lại
Giả sử x n là số hạng thứ n của dãy số. Khi đó, quan hệ lặp lại được biểu diễn dưới dạng;
| x n + 1 = f (x n ); n> 0 |
Trong đó f (x n ) là hàm.
Chúng ta cũng có thể định nghĩa một quan hệ lặp lại như một biểu thức đại diện cho mỗi phần tử của một chuỗi dưới dạng một hàm của các phần tử trước đó.
| x n = f (n, x n-1 ); n> 0 |
Để viết quan hệ lặp lại của bậc nhất, chẳng hạn bậc k, công thức trên có thể được biểu diễn dưới dạng;
| x n = f (n, x n-1 , x n-2 , ……, x n-k ); nk> 0 |
Ví dụ về Quan hệ lặp lại
Trong Toán học, chúng ta có thể thấy nhiều ví dụ về sự lặp lại dựa trên chuỗi và mẫu trình tự. Hãy để chúng tôi xem một số ví dụ ở đây.
Biểu diễn giai thừa
Chúng ta có thể xác định giai thừa bằng cách sử dụng khái niệm quan hệ lặp lại, chẳng hạn như;
n! = n (n-1)! ; n> 0
Khi n = 0,
0! = 1 là điều kiện ban đầu.
Để tìm các giá trị xa hơn, chúng ta phải mở rộng ký hiệu giai thừa, trong đó số hạng kế tiếp phụ thuộc vào số hạng đứng trước.
Số Fibonacci
Trong dãy số hoặc dãy Fibonacci , các số hạng kế tiếp phụ thuộc vào hai số hạng cuối cùng trước đó. Do đó, loạt bài này là ví dụ điển hình nhất về sự tái diễn. Như chúng ta đã biết từ định nghĩa của dãy Fibonacci,
F n = F n-1 + F n-2
Bây giờ, nếu chúng ta lấy các giá trị ban đầu;
F 0 = 0 và F 1 = 1
Vì vậy, F 2 = F 1 + F 0 = 0 + 1 = 1
Theo cách tương tự, chúng ta có thể tìm thấy các thuật ngữ kế tiếp tiếp theo, chẳng hạn như;
F 3 = F 2 + F 1
F 4 = F 3 + F 2
Và như thế.
Do đó, chuỗi Fibonacci được cho bởi;
| 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,… ∞ |
Theo cách tương tự, có những ví dụ khác về sự lặp lại như một ánh xạ logic, hệ số nhị thức trong đó khái niệm tương tự được áp dụng. Ngoài ra, chuỗi số học và hình học có thể được gọi là chuỗi lặp lại.
Giải quyết các mối quan hệ lặp lại
Để giải quyết các quan hệ lặp lại đã cho, chúng ta cần tìm số hạng ban đầu trước tiên. Giả sử chúng ta đã được đưa ra một dãy số;
a n = 2a n-1 – 3a n-2
- Bây giờ, bước đầu tiên sẽ là kiểm tra xem các điều kiện ban đầu a 0 = 1, a 1 = 2, có đưa ra một mô hình đóng cho chuỗi này hay không.
- Sau đó, hãy thử với các điều kiện ban đầu khác và tìm công thức đóng cho nó.
- Kết quả thu được như vậy sau khi thử các điều kiện ban đầu khác nhau tạo ra một loạt.
- Kiểm tra sự khác biệt giữa mỗi số hạng, nó cũng sẽ tạo thành một chuỗi.
- Chúng ta cần thêm tất cả các số hạng của dãy mới để hiểu dãy nào được hình thành
- Sau khi hiểu mô hình, bây giờ chúng ta có thể xác định điều kiện ban đầu của quan hệ lặp lại.
Vấn đề quan hệ lặp lại
Bây giờ chúng ta hãy giải quyết một vấn đề dựa trên giải pháp được cung cấp ở trên.
Câu hỏi: Giải quan hệ truy hồi a n = a n-1 – n với số hạng ban đầu a 0 = 4.
Giải: Chúng ta hãy viết dãy số dựa trên phương trình đã cho bắt đầu với số ban đầu.
Trình tự sẽ là 4,5,7,10,14,19,… ..
Bây giờ hãy xem sự khác biệt giữa mỗi thuật ngữ.
a 1 – a 0 = 1
a 2 – a 1 = 2
a 3 – a 2 = 3
………
a n – a n-1 = n
và như thế.
Bây giờ cộng tất cả các phương trình này ở bên phải, chúng ta nhận được;
1 + 2 + 3 + 4 +… ..n = 1/2 [n (n + 1)]
Trong khi ở phía bên tay trái, chúng ta nhận được;
(a 1 – a 0 ) + (a 2 – a 1 ) + (a 3 – a 2 ) + ……. + (a n-1 – a n-2 ) + (a n – a n-1 )
Vì vậy, bạn có thể thấy, tất cả các điều khoản sẽ bị hủy bỏ nhưng – một 0 và một n
Do đó, a n – a 0 = 1/2 [n (n + 1)]
hoặc là
a n = 1/2 [n (n + 1)] + a 0
Do đó, lời giải cho quan hệ tái diễn với điều kiện ban đầu a 0 = 4 là;
a n = 1/2 [n (n + 1)] + 4
Xem thêm:
