Contents
Định nghĩa quan hệ
Một quan hệ trong toán học xác định mối quan hệ giữa hai tập hợp thông tin khác nhau. Nếu xem xét hai tập hợp, mối quan hệ giữa chúng sẽ được thiết lập nếu có mối liên hệ giữa các phần tử của hai hoặc nhiều tập hợp không rỗng.
Trong buổi tập họp buổi sáng tại các trường học, học sinh phải xếp hàng theo thứ tự tăng dần chiều cao của tất cả học sinh. Điều này xác định mối quan hệ có thứ tự giữa các sinh viên và chiều cao của họ.
Do đó, chúng ta có thể nói,
‘Một tập hợp các cặp có thứ tự được định nghĩa là một quan hệ.’
Ánh xạ này mô tả một quan hệ từ tập A vào tập B. Một quan hệ từ A đến B là một tập con của A x B. Các cặp có thứ tự là (1, c), (2, n), (5, a), (7 , n). Để xác định một mối quan hệ, chúng tôi sử dụng ký hiệu trong đó,
bộ {1, 2, 5, 7} đại diện cho miền.
tập hợp {a, c, n} đại diện cho phạm vi.
Bộ và Mối quan hệ
Các tập hợp và quan hệ được kết nối với nhau. Quan hệ xác định mối quan hệ giữa hai tập hợp đã cho.
Nếu có sẵn hai tập hợp, sau đó để kiểm tra xem có bất kỳ kết nối nào giữa hai tập hợp đó hay không, chúng ta sử dụng quan hệ.
Ví dụ, một quan hệ rỗng biểu thị không có phần tử nào trong hai tập hợp là giống nhau.
Mối quan hệ trong Toán học
Trong Toán học, quan hệ là mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều tập giá trị.
Giả sử, x và y là hai tập các cặp có thứ tự. Và tập x có quan hệ với tập y thì các giá trị của tập x được gọi là miền trong khi các giá trị của tập y được gọi là phạm vi.
Ví dụ: Đối với các cặp có thứ tự = {(1,2), (- 3,4), (5,6), (- 7,8), (9,2)}
Miền là = {-7, -3, 1,5,9}
Và phạm vi là = {2,4,6,8}
Các loại quan hệ
Có 8 loại quan hệ chính bao gồm:
- Mối quan hệ trống rỗng
- Mối quan hệ phổ quát
- Mối quan hệ nhân dạng
- Mối quan hệ nghịch đảo
- Quan hệ phản xạ
- Mối quan hệ đối xứng
- Quan hệ bắc cầu
- Quan hệ tương đương
Mối quan hệ trống rỗng
Một quan hệ rỗng (hay quan hệ rỗng) là một trong đó không có mối quan hệ nào giữa bất kỳ phần tử nào của một tập hợp. Ví dụ, nếu tập A = {1, 2, 3} thì một trong các quan hệ void có thể là R = {x, y} trong đó, | x – y | = 8. Đối với quan hệ rỗng,
R = φ ⊂ A × A
Mối quan hệ phổ quát
Một quan hệ phổ quát (hoặc quan hệ đầy đủ) là một loại quan hệ trong đó mọi phần tử của một tập hợp đều có liên quan với nhau. Xét tập A = {a, b, c}. Bây giờ một trong những quan hệ phổ quát sẽ là R = {x, y} trong đó, | x – y | ≥ 0. Đối với mối quan hệ phổ quát,
R = A × A
Mối quan hệ nhân dạng
Trong mối quan hệ đồng nhất, mọi phần tử của một tập hợp chỉ liên quan đến chính nó. Ví dụ, trong tập A = {a, b, c}, quan hệ đồng nhất sẽ là I = {a, a}, {b, b}, {c, c}. Đối với mối quan hệ danh tính,
I = {(a, a), a ∈ A}
Mối quan hệ nghịch đảo
Quan hệ nghịch đảo được xem khi một tập hợp có các phần tử là cặp nghịch đảo của tập hợp khác. Ví dụ nếu tập A = {(a, b), (c, d)}, thì quan hệ nghịch đảo sẽ là R -1 = {(b, a), (d, c)}. Vì vậy, đối với một mối quan hệ nghịch đảo,
R -1 = {(b, a): (a, b) ∈ R}
Quan hệ phản xạ
Trong một mối quan hệ phản xạ, mọi yếu tố đều ánh xạ với chính nó. Ví dụ, hãy xem xét một tập hợp A = {1, 2,}. Bây giờ một ví dụ về quan hệ phản xạ sẽ là R = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)}. Quan hệ phản xạ được đưa ra bởi-
(a, a) ∈ R
Mối quan hệ đối xứng
Trong quan hệ đối xứng, nếu a = b đúng thì b = a cũng đúng. Nói cách khác, một quan hệ R là đối xứng chỉ khi (b, a) ∈ R đúng khi (a, b) ∈ R. Một ví dụ về quan hệ đối xứng sẽ là R = {(1, 2), (2, 1) } cho một tập hợp A = {1, 2}. Vì vậy, đối với một quan hệ đối xứng,
aRb ⇒ bRa, ∀ a, b ∈ A
Quan hệ bắc cầu
Đối với quan hệ bắc cầu, nếu (x, y) ∈ R, (y, z) ∈ R, thì (x, z) ∈ R. Đối với quan hệ bắc cầu,
aRb và bRc ⇒ aRc ∀ a, b, c ∈ A
Quan hệ tương đương
Nếu một quan hệ đồng thời là phản xạ, đối xứng và bắc cầu thì nó được gọi là quan hệ tương đương.
Biểu diễn các loại quan hệ
| Loại quan hệ | Tình trạng |
|---|---|
| Mối quan hệ trống rỗng | R = φ ⊂ A × A |
| Mối quan hệ phổ quát | R = A × A |
| Mối quan hệ nhân dạng | I = {(a, a), a ∈ A} |
| Mối quan hệ nghịch đảo | R -1 = {(b, a): (a, b) ∈ R} |
| Quan hệ phản xạ | (a, a) ∈ R |
| Mối quan hệ đối xứng | aRb ⇒ bRa, ∀ a, b ∈ A |
| Quan hệ bắc cầu | aRb và bRc ⇒ aRc ∀ a, b, c ∈ A |
Xem thêm:
