Trong một loạt thử nghiệm, nếu bạn giả định rằng xác suất thành công hoặc thất bại của một biến ngẫu nhiên trong mỗi thử nghiệm là như nhau, thì phân phối hình học cho xác suất đạt được thành công sau N số lần thất bại. Phân phối về cơ bản là một tập hợp các xác suất thể hiện cơ hội thành công sau khi không thất bại, một lần thất bại, hai lần thất bại, v.v.
Định nghĩa phân bố hình học
Phân phối hình học được định nghĩa là phân phối xác suất rời rạc của một biến ngẫu nhiên “x” thỏa mãn một số điều kiện. Các điều kiện phân bố hình học là
- Một hiện tượng có một loạt các thử nghiệm
- Mỗi thử nghiệm chỉ có hai kết quả có thể xảy ra – thành công hoặc thất bại
- Xác suất thành công là như nhau cho mỗi lần thử
Công thức phân phối hình học
Trong xác suất và thống kê, phân phối hình học xác định xác suất thành công đầu tiên xảy ra sau k số lần thử. Nếu p là xác suất thành công hoặc thất bại của mỗi lần thử, thì xác suất thành công xảy ra trênkt h thử nghiệm được đưa ra bởi công thức
Pr ( X= k ) = ( 1 – p)k – 1p
Các ví dụ
- Hãy xem xét một cặp vợ chồng đang có kế hoạch sinh con và họ sẽ tiếp tục sinh con cho đến khi nó là một bé gái. Xác suất để họ không có con trai, một trai và hai trai, v.v. cho đến khi một bé gái được sinh ra?
- Một người đang tìm kiếm công việc mới vừa là thách thức vừa thỏa mãn. Xác suất để anh ta bỏ việc không lần nào, một lần, hai lần như vậy cho đến khi anh ta tìm được công việc lý tưởng của mình?
- Một công ty dược phẩm đang thiết kế một loại thuốc mới để điều trị một loại bệnh nhất định sẽ có tác dụng phụ tối thiểu. Xác suất không có loại thuốc nào không đạt thử nghiệm, một loại thuốc không đạt thử nghiệm, hai loại thuốc không đạt thử nghiệm, v.v. cho đến khi họ thiết kế được loại thuốc lý tưởng?
Giải quyết vấn đề
Chúng ta hãy xem xét một trong những tình huống mà phân bố hình học có thể được áp dụng. Giả sử một người đang ném xúc xắc và sẽ dừng lại khi anh ta nhận được 5. Vì có 6 kết quả có thể xảy ra, xác suất thành công p =16= 0,17. Do đó xác suất thất bại
q = 1 – p = 1 – 0,17 = 0,83
Chúng ta hãy tính xác suất của ba lần thử đầu tiên.
Người được số 5 lần đầu tiên. Số lần thất bại trước thành công đầu tiên là con số không. Do đó X = 0, k = 1
Thay các giá trị của X, k, p và q trong phân phối, chúng ta có
Pr ( X= 0 ) = (0,830) × 0,17 = 0,17
Người được số 5 lần thứ hai. Số lần thất bại trước lần thành công đầu tiên là 1. Do đó X = 1 và k = 2.
Thay các giá trị của X, k, p và q trong phân phối, chúng ta có
Pr ( X= 1 ) = (0,832 – 1) × 0,17 = 0,83 x 0,17 = 0,14
Bằng cách này, chúng ta có thể xây dựng một chuỗi phân bố hình học cho một loạt phép thử.
