Phép nội suy là gì? xem xong 5 phút hiểu luôn

Ý nghĩa nội suy

Nội suy là một phương pháp lấy một hàm đơn giản từ tập dữ liệu rời rạc đã cho để hàm đi qua các điểm dữ liệu đã cho. Điều này giúp xác định các điểm dữ liệu ở giữa các điểm dữ liệu đã cho. Phương pháp này luôn cần thiết để tính giá trị của một hàm cho giá trị trung gian của hàm độc lập. Tóm lại, nội suy là một quá trình xác định các giá trị chưa biết nằm giữa các điểm dữ liệu đã biết. Nó chủ yếu được sử dụng để dự đoán các giá trị chưa biết cho bất kỳ điểm dữ liệu liên quan đến địa lý nào như mức độ tiếng ồn, lượng mưa, độ cao, v.v.

Công thức nội suy

Giá trị chưa biết trên các điểm dữ liệu có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng công thức nội suy tuyến tính và nội suy Lagrange.

Phương pháp nội suy

Có nhiều loại phương pháp nội suy khác nhau. Họ đang:

Phương pháp nội suy tuyến tính – Phương pháp này áp dụng một đa thức tuyến tính riêng biệt giữa mỗi cặp điểm dữ liệu cho đường cong hoặc trong bộ ba điểm cho bề mặt.

Phương pháp lân cận gần nhất – Phương pháp này chèn giá trị của một điểm được nội suy vào giá trị của điểm dữ liệu liền kề nhất. Do đó, phương pháp này không tạo ra bất kỳ điểm dữ liệu mới nào.

Phương pháp nội suy Spline khối – Phương pháp này phù hợp với một đa thức khối khác nhau giữa mỗi cặp điểm dữ liệu cho đường cong hoặc giữa bộ ba điểm cho bề mặt.

Phương pháp bảo quản hình dạng – Phương pháp này còn được gọi là phương pháp nội suy Hermite khối (PCHIP). Nó bảo toàn tính đơn điệu và hình dạng của dữ liệu. Nó chỉ dành cho các đường cong.

Phương pháp Spline bản mỏng – Phương pháp này bao gồm các bề mặt nhẵn cũng có thể ngoại suy tốt. Nó chỉ dành cho bề mặt

Phương pháp nội suy Biharmonic – Phương pháp này chỉ được áp dụng cho các bề mặt.

Nội suy bậc hai

Để làm ví dụ, chúng ta hãy xem xét giá trị đã cho

x ₀ = 0

x ₁ = π / 4

x ₂ = π / 2

và

y _i = c o s x _i

Trong đó i = 0,1,2

Điều này cho chúng ta ba điểm  ( 0 , 1),  ( π / 4 ,  1 / √2 ) và  ( π / 2 ,  0 )

Bây giờ tìm một đa thức bậc hai sẽ chứa các điểm-

Mà

p ( x _i ) = y _i

i = 0, 1, 2

Đồ thị của đa thức này được biểu diễn trên đồ thị đi kèm. Sau đó chúng tôi đưa ra một công thức rõ ràng.

Sử dụng nội suy

1. Thay thế tập hợp các điểm dữ liệu { ( x _i ,  y _i ) }  bằng một hàm đã cho về mặt giải tích.

Dữ liệu có thể từ một lớp hàm đã biết. Sau đó, phép nội suy được sử dụng để tìm thành viên của lớp hàm này phù hợp với dữ liệu đã cho. Ví dụ: dữ liệu có thể được tạo từ các hàm của biểu mẫu

Sau đó, chúng ta cần tìm các hệ số { a j }  dựa trên các giá trị dữ liệu đã cho.

Chúng ta có thể muốn lấy các giá trị hàm f (x) cho trong bảng cho các giá trị đã chọn của x, thường được đặt cách đều nhau và mở rộng hàm đến các giá trị của x, không có trong bảng. Ví dụ, các số đã cho từ bảng logarit, hãy ước lượng logarit của một số x không có trong bảng.

Cho một tập hợp các điểm dữ liệu { ( x _i , y _i ) } , hãy tìm một đường cong đi qua các điểm “dễ nhìn” này. Trên thực tế, đây là những gì được thực hiện liên tục với đồ họa máy tính. Làm thế nào để chúng ta nối một tập hợp các điểm để tạo thành một đường cong trơn? Kết nối chúng với các đoạn thẳng thường sẽ tạo ra một đường cong có nhiều góc, trong khi những gì dự định là một đường cong trơn.

2. Các hàm gần đúng với các hàm đơn giản hơn, thường là đa thức hoặc ‘đa thức từng mảnh’.

Là tính gần đúng các hàm f (x) bằng các hàm đơn giản hơn p (x), có lẽ để làm cho việc tích phân hoặc phân biệt f (x) dễ dàng hơn. Đó sẽ là lý do chính để nghiên cứu nội suy trong khóa học này.

Để làm ví dụ về lý do tại sao điều này lại quan trọng, hãy xem xét vấn đề đánh giá

Điều này rất khó thực hiện về mặt phân tích. Nhưng chúng ta sẽ xem xét việc tạo ra đa thức nội suy của tích phân và đa thức được tích hợp chính xác một cách dễ dàng.

Nội suy và ngoại suy

Chúng ta biết rằng nội suy được định nghĩa để sử dụng dữ liệu để dự đoán dữ liệu trong tập dữ liệu và là một phương pháp điều chỉnh các điểm dữ liệu để đại diện cho giá trị của một hàm. Mặt khác, ngoại suy là phương pháp sử dụng tập dữ liệu để ước tính ngoài tập dữ liệu. Sự khác biệt chính có thể được ghi nhận giữa nội suy và ngoại suy như được cho trong bảng dưới đây.