Phép tính đa biến là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Giải tích đa biến là gì?

Phép tính đa biến giải quyết các hàm của nhiều biến, trong khi phép tính một biến giải quyết hàm của một biến. Quá trình phân hóa và tích phân tương tự như phép tính một biến. Trong phép tính nhiều biến, để tìm đạo hàm riêng, trước tiên, lấy đạo hàm của biến thích hợp trong khi giữ các biến khác là hằng số. Nó chủ yếu xử lý các đối tượng ba chiều hoặc các kích thước cao hơn. Các phép toán điển hình liên quan đến phép tính đa biến là:

• Giới hạn và tính liên tục
• Sự khác biệt từng phần
• Tích hợp nhiều

Các chủ đề về tính toán đa biến

Các chủ đề quan trọng được đề cập trong phép tính đa biến như sau:

Ứng dụng tính toán đa biến

Một trong những công cụ cốt lõi của Toán ứng dụng là phép tính đa biến. Nó được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Kinh tế, Kỹ thuật, Khoa học Vật lý, Đồ họa Máy tính, v.v. Một số ứng dụng của phép tính đa biến như sau:

• Giải tích đa biến cung cấp một công cụ cho các hệ thống động.
• Nó được sử dụng trong một hệ thống động thời gian liên tục để kiểm soát tối ưu.
• Trong phân tích hồi quy, nó giúp rút ra các công thức để ước tính mối quan hệ giữa các tập dữ liệu thực nghiệm.
• Trong Kỹ thuật và Khoa học Xã hội, nó giúp nghiên cứu và mô hình hóa các hệ thống chiều cao thể hiện bản chất xác định.
• Trong Tài chính, Nhà phân tích định lượng sử dụng phép tính đa biến để dự đoán các xu hướng trong tương lai trên thị trường chứng khoán.

Các vấn đề về tính toán đa biến

Các bài toán cơ bản về phép tính đa biến được đưa ra dưới đây

Ví dụ 1:

Tìm đạo hàm riêng cấp nhất của hàm z = f (x, y) = x ³ + y ⁴ + sin xy.

Giải pháp:

Cho Hàm số: z = f (x, y) = x ³ + y ⁴ + sin xy.

Đối với hàm số đã cho, đạo hàm riêng bậc nhất đối với x là:

∂với∂x=∂f∂x= 3x2+ c o s ( x y) vàTương tự, đạo hàm riêng đầu tiên đối với y là:

∂với∂Y=∂f∂Y= 4Y3+ c o s ( x y) xVí dụ 2:

Tìm vi phân toàn phần của hàm số: z = 2x sin y – 3x ² y ² .

Giải pháp:

Cho hàm số: z = 2x sin y – 3x ² y ² .

Tổng số phân biệt của hàm được cho là:

dvới=∂với∂xdx +∂với∂YdY dvới= ( 2 s i n y– 6 xY2) dx + ( 2 x c o s y– 6x2Y) dYVí dụ 3:

Tìm dw / dt nếu w = x ² y – y ² , x = sin t và y = e ^t bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi.

Giải pháp:

Được:

w = x ² y – y ² , x = sin t và y = e ^t .

Để tìm: dw / dt

dwdt=∂w∂xdxdt+∂w∂YdYdtdw / dt = 2xy (cos t) + (x ² -2y) e ^t

dw / dt = 2 (sin t) (e ^T ) + cos (nếu ² T -2e ^T ) từ ^T .