Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Phép tính vi phân và phép tính gần đúng

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Trong toán học, phép tính vi phân là một nhánh của toán học liên quan đến quá trình tìm đạo hàm của một hàm số. Nó là nghiên cứu về tốc độ thay đổi của các đại lượng đối với các biến số khác. Quá trình tìm đạo hàm của hàm số đã cho được gọi là phép phân biệt. Khái niệm về phép tính vi phân về cơ bản là cắt một thứ gì đó thành nhiều phần nhỏ hơn để tìm tốc độ thay đổi. Nói chung, nếu một phương trình liên quan đến đạo hàm của biến phụ thuộc đối với biến độc lập, thì nó được gọi là phương trình vi phân .

dy / dx = f (x)

Trong trường hợp này, “x” là một biến độc lập và “y” là một biến phụ thuộc.

Nói chung, các dẫn xuất được sử dụng để xác định những điều sau:

  • Nó được sử dụng để tìm tỷ lệ thay đổi của các đại lượng.
  • Nó được sử dụng để tìm phương trình của tiếp tuyến và pháp tuyến của một đường cong tại một điểm.
  • Nó dùng để tìm điểm chuyển trên đồ thị hàm số, giúp định vị điểm xảy ra giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.
  • Nó được sử dụng để tìm khoảng thời gian mà hàm tăng hoặc giảm.
  • Nó được sử dụng để tìm giá trị gần đúng của một số đại lượng nhất định.

Ví dụ, tìm tốc độ thay đổi của diện tích hình tròn trong một giây đối với bán kính, khi r là 5 cm.

Chúng ta biết rằng diện tích của một hình tròn là A = πr 2 .

Do đó, tốc độ thay đổi của diện tích đối với bán kính được cho bởi:

dA / dr = (d / dr) (πr 2 )

dA / dr = 2πr

Khi r = 5 cm thì nó trở thành

dA / dr = 10π

Do đó, diện tích của một hình tròn đang thay đổi với tốc độ 10π cm 2 / s.

Phép tính vi phân xấp xỉ

Bây giờ, chúng ta hãy xem các vi phân được sử dụng để tính gần đúng các đại lượng nhất định. Cho hàm f theo x được xác định sao cho f: D → R, D ⊂ R. Cho y = f (x). Cho một sự gia tăng nhỏ của x được ký hiệu là ∆x. Nếu x tăng ∆x thì độ tăng tương ứng của y được cho bởi ∆y = f (x + ∆x) – f (x) như trong hình bên dưới.

Phép tính vi phân

Dựa trên thảo luận ở trên, chúng ta có thể xác định như sau:

  • Vi phân của x được biểu diễn dưới dạng dx được cho bởi dx = ∆x.
  • Vi phân của y được biểu diễn dưới dạng dy được cho bởi dy = f ‘(x) dx = (dy / dx) ∆x.

Nếu trong trường hợp vi phân của x hoặc dx = ∆x tương đối rất nhỏ so với x thì dy là một xấp xỉ tốt của ∆y và dy ≈ ∆y.

Từ thảo luận trên, có thể nhận thấy rằng vi phân của biến độc lập bằng mức tăng của biến, nhưng mặt khác, vi phân của biến phụ thuộc không bằng mức tăng của biến.

Chúng ta hãy xem xét các ví dụ để có cái nhìn sâu sắc hơn.

Ví dụ về ước lượng

Ví dụ 1:

Gần đúng sử dụng vi phân.25,5

Giải pháp:

Chúng ta hãy xem xét y = , trong đó x = 25 và ∆x = 0,5. Sau đó,x

∆y =△ xx

∆y =25,525

∆y =25,5– 5

25,5△ y5

Vì dy xấp xỉ bằng ∆y, do đó

dy=d yd x△ =12x0,5 0,05

Do đó, giá trị gần đúng của25,50,05 5,05

Ví dụ 2:

Tìm giá trị gần đúng của hàm số f (3.02), trong đó f (x) là 3x 2 + 5x + 3.

Giải pháp:

Cho rằng, f (x) = 3x 2 + 5x + 3

Giả sử x = 3 và ∆x = 0,02.

Do đó, chúng ta có thể viết hàm đã cho dưới dạng:

f (3. 02) = f (x + ∆x) = 3 (x + ∆x) 2 + 5 (x + ∆x) + 3

Chúng ta biết rằng,

∆y = f (x + ∆x) – f (x). 

Biểu thức trên có thể được viết dưới dạng

f (x + ∆x) = f (x) + ∆y

Vì dx = ∆x, nó có thể được viết gần đúng là f (x) + f ′ (x) ∆x

Do đó, f (3.02) ≈ (3x 2 + 5x + 3) + (6x + 5) ∆x

Bây giờ, thay các giá trị của x và ∆x, chúng ta nhận được

= (3 (3) 2 + 5 (3) + 3) + (6 (3) + 5) (0,02) 

Bây giờ, hãy đơn giản hóa nó để nhận được giá trị gần đúng

= (27 + 15 + 3) + (18 + 5) (0,02)

= 45 + 0,46 

= 45,46

Do đó, giá trị gần đúng của f (3.02) là 45.46.

Vấn đề thực hành

Giải quyết các vấn đề sau:

  1. Tìm giá trị gần đúng của (26)  bằng cách sử dụng vi phân
  2. Tìm giá trị gần đúng của f (2.01), trong đó f (x) = 4x 2 + 5x + 2.
  3. Xác định sai số gần đúng khi tính diện tích bề mặt, nếu đo bán kính của hình cầu là 9 cm với sai số là 0,03 cm.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

GIẢI TOÁN ONLINE SIÊU NHANH VÀ CHÍNH XÁC NHẤT

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x