Hướng dẫn thực hiện phép trừ vectơ chi tiết nhất

Có rất nhiều điểm tương đồng giữa vô hướng và vectơ, và phép trừ vectơ cũng không ngoại lệ. Cụ thể, phép trừ vectơ là:

“Việc thêm một vectơ với âm của một vectơ khác.”

Từ định nghĩa trên, rõ ràng là phép trừ vectơ chỉ đơn thuần là phép cộng các vectơ âm. Vì vậy, trước khi học phép trừ vectơ, điều quan trọng là phải xem lại các vectơ âm.

Như chúng ta đã biết, một vectơ âm thu được bằng cách nhân một vectơ đã cho với -1. Điều này làm đảo ngược hướng của vectơ.

Giả sử A là một vectơ hướng từ trái sang phải. Nhân vectơ A với -1 ta được -A, là vectơ A âm. Mặc dù độ lớn của hai vectơ A và – A sẽ không đổi nhưng vectơ âm – A sẽ hướng từ phải sang trái.

QUẢNG CÁO

Trong chủ đề này, chúng ta sẽ thảo luận thêm về các khía cạnh sau của phép trừ vectơ:

• Cách trừ các vectơ
• Trừ các vectơ bằng đồ họa

Cách trừ các vectơ

Chúng ta biết rằng hai vectơ, Một và B, có thể được thêm vào với nhau sử dụng Ngoài ra vector, và vector kết quả có thể được viết như R = A + B . Tương tự, nếu chúng ta muốn phép trừ hai vectơ, A và B được biểu thị bằng toán học như sau:

R = A – B

Ngoài ra như:

R = A + (- B )

Do đó, trừ hai vectơ cũng giống như cộng vectơ A và vectơ B âm (tức là, B ). Các vectơ B và – B sẽ có cùng độ lớn, nhưng hướng của B sẽ ngược với hướng của vectơ B.

Phép trừ vectơ cũng hoạt động khi hai vectơ được cho ở dạng thành phần hoặc dưới dạng vectơ cột. Nếu A = (ax1, ay1) và B = (bx1, by1), thì hiệu số giữa hai là:

R = A – B

Trong đó các thành phần ngang và dọc của vectơ kết quả R có thể được biểu thị như sau:

Rx = ax1 – bx1

và

Ry = ay1 – by1.

Do đó, vectơ kết quả có thể được tính bằng cách đơn giản tính toán sự khác biệt của hai thành phần ngang và dọc tương ứng của hai vectơ gốc.

Trừ các vectơ bằng đồ họa

Về mặt đồ họa, quy tắc đầu đến đuôi được sử dụng trong phép cộng vectơ có thể được điều chỉnh cho phép trừ vectơ. Ví dụ, hãy xem xét hai vectơ P và Q như thể hiện trong hình dưới đây. Lưu ý rằng vectơ – Q nhận được bằng cách đảo ngược hướng của Q.

Tiếp theo, chúng tôi thêm các vectơ P  và – Q bằng cách sử dụng quy tắc đầu-đuôi như sau:

Đầu tiên, vẽ vector P, và sau đó đặt vector – Q   để đuôi của nó được kết nối với người đứng đầu của vector P . Bây giờ, để tìm tổng của P và – Q , hãy vẽ vectơ kết quả R sao cho nó nối đuôi của vectơ P với đầu của vectơ – Q như thể hiện trong hình dưới đây.

Về mặt toán học, vectơ kết quả có thể được biểu thị như sau:

R = P – Q

Các ví dụ

Trong phần này, chúng ta sẽ thực hành phép trừ vectơ với các ví dụ khác nhau và các giải pháp từng bước của chúng bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau như đã thảo luận ở trên.

ví dụ 1

Trừ các vectơ A và B đã cho bằng đồ thị trong hình bên dưới bằng cách sử dụng phương pháp đầu-đuôi.

Lời giải
Đầu tiên chúng ta vẽ âm của vectơ B   bằng cách đảo ngược hướng của nó, tức là, -B . Tiếp theo, chúng ta thêm các vectơ A và – B bằng cách áp dụng phương pháp head-to-tail.

Đầu tiên chúng ta đặt các vectơ A và – B đã cho sao cho đuôi của vectơ -B nối với đầu của vectơ A như trong hình dưới đây. Tiếp theo, để tìm số tiền của họ, chúng tôi rút ra một vector kết quả R như vậy mà nó kết nối đuôi của vector Một người đứng đầu vector – B . Về mặt toán học, kết quả có thể được biểu thị là:
                                      R = A + (- B )

Ví dụ 2

Cho hai vectơ AB = (3, 2) và BC = (2, 2), cộng đại số trừ hai vectơ. Sau đó, xác định độ lớn và góc của vectơ kết quả đã cho là:

S   = AB + (- BC )

Giải pháp

Đầu tiên, xác định số âm của vectơ BC bằng cách nhân nó với -1:

-BC = (-2, -2).

Tiếp theo, để tìm vectơ kết quả S, chúng ta thêm các vectơ AB và – BC như sau:

S = AB + (- BC )

S = (3, 2) + (-2, -2)

S = (1, 0).

Độ lớn của vectơ kết quả S có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng các công thức sau:

| S | = √ (Sx) ^ 2 + (Sy  ) ^ 2

| S | = √ (1) ^ 2 + (0) ^ 2

| S | = √ 1

| S | = 1 đơn vị

Khi đó góc của vectơ kết quả S có thể được tìm thấy như sau:

Φ = tan ^-1 (Sy / Sx)

Φ = tan ^-1 (0/1)

Φ = tan ^-1 (0)

Φ = 0 độ

Ví dụ 3

Cho hai vectơ S = 10 m, Φ = 30 độ và T = 20m, Φ = 60 độ. Trừ hai vectơ, sau đó tính độ lớn và góc của vectơ kết quả bằng phương pháp thành phần.

Giải pháp

Gọi R là vectơ kết quả bằng tổng các vectơ đã cho S và – T. Nó có thể được biểu thị như sau:

R = S + (- T )

Để sử dụng phương thức thành phần, trước tiên chúng ta chia nhỏ các vectơ đã cho thành các thành phần ngang và dọc tương ứng của chúng:

Sx = S Cos Φ

Sx = 10 Cos 30

Sx = 8.660 m (Khoảng)

Tương tự, đối với thành phần dọc:

Sy = S Sin Φ

Sy = 10 Sin 30

Sy = 5 m

Tiếp theo, chúng tôi tính toán các thành phần của vectơ T:

Tx = T Cos Φ

Ty = T Sin Φ

Ở đâu,

Tx = 20 Cos 60

Tx = 10m

Ty = 20 Sin 60

Ty = 17.320 (Khoảng)

Bây giờ, chúng ta có thể tính toán vectơ chênh lệch bằng cách tính toán sự khác biệt của các thành phần x và y riêng lẻ của vectơ S và – T như sau:

Rx = Sx + ( -Tx )

Rx = 8.660 + (-10)

Rx = -1,34 m

Ry = Sy + ( -Ty )

Ry = 5 + (-17,32)

Ry = -12,32 m

Vectơ kết quả R có thể được biểu thị dưới dạng vectơ cột:

R = (-1,34, -12,32).

Cuối cùng, độ lớn và góc của vectơ kết quả là:

| R | = √ (-1,34) ^ 2 + (-12,32) ^ 2

| R | = 12,392 m

Φ = tan ^-1 ( Ry / Rx )

Φ = tan ^-1 (-12,32 / -1,34)

Φ = 83,79 độ (Khoảng)

Do đó, vectơ tổng kết quả có thể được biểu thị như sau:

R = 12,392 m, Φ = 83,79 độ

Ví dụ 4

Xác định vectơ tổng kết quả của hai vectơ A = (-5, -1) và – B = (2, -1).

Giải pháp

Các vectơ đã cho đã ở dạng thành phần của chúng, vì vậy trước tiên chúng ta xác định góc của chúng.

Đối với vectơ A:

Φ = tan ^-1 ( Ay / Ax )

Φ = tan ^-1 (-1 / -5)

Φ = 11.309 độ

Đối với vectơ – B:

Φ = tan ^-1 ( Theo / Bx )

Φ = tan ^-1 (-1/2)

Φ = -26,56 độ

Tiếp theo, chúng tôi tìm vectơ kết quả bằng cách thêm các thành phần riêng lẻ:

S = A + (- B )

Sx = Ax + ( -Bx )

Sx = -5 + 2

Sx = -3

Sy = Ay + ( -By )

Sy = -1 -1

Sy = -2

Vectơ kết quả S có thể được biểu thị dưới dạng vectơ cột:

S = (-3, -2).

Cuối cùng, độ lớn và góc của vectơ kết quả là:

| S | = √ (-3) ^ 2 + (-2) ^ 2

| S | = 3,605 đơn vị

Φ = tan ^-1 ( Sy / Sx )

Φ = tan ^-1 (-2 / -3)

Φ = 33,69 độ

Do đó, vectơ tổng kết quả có thể được biểu thị như sau:

S = 3,605 đơn vị, Φ = 33,69 độ

Ví dụ 5

Với ba vectơ Một = (-20, -1), X = (5, -4), và Y = (2,6), xác định véc tơ  Z = A – X – Y .

Giải pháp

Z = A – X – Y

Z = (-20, -1) – (5, -4) – (2, 6)

Z = (-20-5-2, -1 + 4-6)

Z = (-27, -3)

Xem thêm:

Hướng dẫn phép cộng vectơ nhanh chóng, dễ hiểu nhất

Phép nhân theo phương pháp vô hướng-Phép toán và các ví dụ

Câu hỏi thực hành

1. Với hai vectơ V = (2, 5) và C = (3, -2), xác định A = V – C . Sau đó, xác định tầm quan trọng và các góc độ của vector tổng Một .
2. Cho hai vectơ G = (5, 5) và – H = (4, -10), hãy xác định tổng của chúng bằng cách sử dụng quy tắc đầu-đuôi. Sau đó, xác định tầm quan trọng và các góc độ của vector tổng P = G – H .
3. Xét vectơ OA, trong đó O = (-1, 3) và A = (5,2), và vectơ UV, trong đó U = (1, -2) và V = (-2, 2). Trừ hai vectơ, sau đó cung cấp độ lớn và góc của vector tổng S .
4.  M = 10 m thẳng Đông và N = 15 m thẳng Bắc. Trừ hai vectơ, rồi cho độ lớn và góc của vectơ kết quả.
5. Với hai vectơ Một = (10, 2, 5), và M = (5, 0, -4), xác định véc tơ  B  = M – Một .

Câu trả lời

1. Vectơ kết quả A là A = (-1, 7), độ lớn của A là | A | = 7,079 đơn vị (gần đúng) và góc là Φ = -81,86 độ.
2. Vectơ kết quả P là: P = (9, -5), độ lớn của P là | P | = 10. 30 đơn vị (gần đúng), và góc là Φ = -29,05 độ.
3. Các vectơ là OA = (6, -1) và – UV = (3, -4), vectơ kết quả S là S = (9, -5), độ lớn của S là | S | = 10. 30 đơn vị (gần đúng), và góc là Φ = -29,05 độ.
4.  Kết quả của hai vectơ là:

R = M + (- N )

| R | = 18,027 m (Khoảng)

Và góc là:

Φ = tan ^-1 (15/10)

Φ = 56,30 độ

Do đó, vectơ kết quả R là R = 18,027 m , Φ = 56,30 độ về phía Đông Bắc.

1. B = M – A

B = (10, 2, 5) – (5, 0, -4)

B = (10-5, 2-0, 5 + 4)

B = (5, 2, 9)