Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Các dạng và bài tập của Phương trình mặt cầu

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18

  • Để đảm bảo chất lượng học và dạy cũng như chất lượng đầu ra cho sinh viên, năm 2021 Khoa nhận đào tạo 200 sinh viên đối với ngành Đại Học Điều DưỡngDược tuyển sinh theo hình thức xét tuyển.
  • HOẶC NỘP HỒ SƠ TRỰC TUYẾN TẠI ĐÂY >>>  CLICK VÀO ĐÂY 

Phương trình mặt cầu là một trong các nội dung qua trọng của hình học giải tích. Trong bài viết dưới đây tôi sẽ chỉ dẫn Anh chị em tất cả các dạng toán tương tác đến nội dung này. Dường như mỗi dạng toán sẽ có 1 thí dụ chi tiết để Cả nhà luôn tiện theo dõi. Hãy cùng học nội dung nay duyệt bài viết nhé!

I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

trước tiên ta cần nhắc lại định nghĩa mặt cầu là gì? Trong không gian, mặt cầu là quỹ tích các điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là bán kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu.

Mặt cầu cũng có thể được định nghĩa theo định nghĩa mặt tròn vo. Theo đó mặt cầu là mặt tròn xoay khi quay đường tròn vòng vèo một đường kính.

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:

(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R²

Ngoài ra nếu a²+b²+c²-d>0 thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của (S):

x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 (1)

Tọa độ tâm của (S) có phương trình (1) là I(a;b;c) và bán kính của (S) được tính theo công thức:

công thức tính bán kính mặt cầu oxyz

II. DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THƯỜNG gặp mặt

1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU

Với dạng toán này, chúng ta có 1 số phương trình. Và được yêu cầu nhận dạng xem phương trình nào là phương trình của một mặt câ`u.

tỉ dụ minh họa:

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt câ`u?

A. x²+y²+z²-4x+6y+2z+14=0.

B. x²+y²+z²-8x+2y+2z+62=0.

C. 3x²+y²+2z²-4x+6y+2z-6=0.

D. x²+y²+z²-4x+8y+2z-6=0.

Lời giải:

Đối với dạng toán này chúng ta cần để ý 1 số điểm như:

• Hệ số của x², y², z² phải giống nhau. Nếu hệ số của x², y², z² giống nhau nhưng chưa bằng 1 thì ta chia cả 2 vế phương trình để hệ số của x², y², z² bằng 1.

• Phương trình x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 muốn là phương trình mặt câ`u thì a²+b²+c²-d>0 (điều kiện để có phương trình mặt cầu).

Trong ví dụ trên, phương án A không thỏa mãn bởi vì a²+b²+c²-d=2²+(-3)²+(-1)²-14=0.

Phương án B không thỏa mãn do a²+b²+c²-d=4²+(-1)²+(-1)²-62<0.

Phương án C không thỏa mãn bởi hệ số của x², y², z² không bằng nhau.

Phương án D là đáp án đúng  a²+b²+c²-d=2²+(-4)²+(-1)²+6=27>0.

Chọn đáp án D.

2. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU CÓ PHƯƠΝG TRÌNH TỔNG QUÁT

ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): 2x²+2y²+2z²-8x+8y-4z=0 có tâm và bán kính lần lượt là

A. I(-2;2;-1), R=3.

B. I(2;-2;1), R=3.

C. I(-2;2;-1), R=9.

D. I(2;-2;1), R=9.

Lời giải+Hướng dẫn:

trước tiên, chúng ta cần đánh giá hệ số của x², y², z² nếu khác 1 thì cần chia cả 2 vế cho số phù hợp. Ở bài này chúng ta chia cả 2 vế của phương trình cho 2 ta được (S): x²+y²+z²-4x+4y-2z=0.

Tiếp theo để xác định tọa độ tâm mặt cầu chúng ta lấy hệ số của x, y, z chia cho -2 ta được: I(2;-2;1).

Để xác định bán kính mặt cầu ta lấy tổng bình phương các tọa độ của tâm trừ hệ số độc lập được kết quả bao nhiêu thì lấy căn bậc 2.

Bán kính mặt cầu là R²=2²+(-2)²+1²-0=9⇒R=3. Chọn đáp án B.

3. VIẾT PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU ĐƯỜNG KÍNH AB

Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu

Để làm dạng toán này ta xác định tâm là trung điểm AB, bán kính bằng nửa độ dài AB.

ví dụ minh họa:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và điểm B(5;2;-1). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

A. (x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=32.

B. (x+3)²+(y+2)²+(z+1)²=8.

C. (x+3)²+(y+2)²+(z+1)²=32.

D.(x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=8.

Lời giải:

Tâm mặt cầu là trung điểm AB và có tọa độ là: I(3;2;1).

Gọi R là bán kính mặt cầu, ta có: (2R)²=(5-1)²+(2-2)²+(-1-3)²=32⇒R²=8.

Vậy công thức phương trình mặt cầu cần tìm là: (x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=8.

Chọn đáp án D.

4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐI QUA 4 ĐIỂM

Có nhiều cách để giải dạng toán này. Trong đó cách làm nhanh hơn là thay tọa độ 4 điểm vào dạng phương trình tổng quát. Sau đó sử dụng máy tính bỏ túi giải hệ 4 phương trình 4 ẩn.

tỉ dụ minh họa (Tự luận):

Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-1;-1;-1), B(1;0;0), C(0;2;0), D(0;0;3). Mặt câ`u (S) đi qua 4 điểm A, B, C, D có phương trình là gì?

Lời giải:

5. VIẾT PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU CÓ TÂM I VÀ xúc tiếp VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Có duy nhất một mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d. Bán kính R của mặt cầu này chính là khoảng cách từ I tới d.

 

thí dụ minh họa (Tự luận):

Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2;-1;3). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là gì?

Lời giải:

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I tới trục Oy: R=|-1|=1.

(Mẹo: Chiếu lên trục nào thì lấy trị tuyệt đối cái đó, thí dụ ở đây chiếu lên trục Oy thì ta chỉ cần lấy trị tuyệt đối của tung độ).

IFrame

Vậy phương trình mặt cầu tiếp xúc với trục Oy cần tìm là : (x-2)²+(y+1)²+(z-3)²=1.

Trên đây là một số dạng toán về phương trình mặt cầu mà tintuctuyensinh giới thiệu tới Anh chị em. Chúc Anh chị học giỏi và thành công!

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

GIẢI TOÁN ONLINE SIÊU NHANH VÀ CHÍNH XÁC NHẤT

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/10/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.png
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x