• Định nghĩa
• Kiểm tra độ chính xác
• Yếu tố tích hợp
• Giải phương trình vi phân chính xác
• Các ví dụ
• Các vấn đề

Định nghĩa phương trình vi phân chính xác

Phương trình P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 là một phương trình vi phân chính xác nếu tồn tại một hàm f gồm hai biến x và y có đạo hàm riêng liên tục sao cho định nghĩa phương trình vi phân chính xác được tách ra như theo sau

u _x (x, y) = p (x, y) và u _y (x, y) = Q (x, y);

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình là u (x, y) = C.

Trong đó “C” là một hằng số tùy ý.

Kiểm tra độ chính xác

Giả sử các hàm P (x, y) và Q (x, y) có đạo hàm riêng liên tục trong một miền D cụ thể và phương trình vi phân là chính xác nếu và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện

∂Q∂x=∂P∂Y

Hệ số tích hợp phương trình vi phân chính xác

Nếu phương trình vi phân P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0 không chính xác, có thể làm cho nó chính xác bằng cách nhân với hệ số liên quan u (x, y) được gọi là hệ số tích phân cho phương trình vi phân đã cho.

Hãy xem xét một ví dụ,

2ydx + x dy = 0

Bây giờ hãy kiểm tra xem phương trình vi phân đã cho có chính xác hay không bằng cách sử dụng thử nghiệm về độ chính xác.

Phương trình vi phân đã cho là không chính xác.

Để chuyển nó thành phương trình vi phân chính xác, nhân với hệ số tích phân u (x, y) = x, phương trình vi phân trở thành,

2 xy dx + x ²  dy = 0

Phương trình kết quả ở trên là phương trình vi phân chính xác vì vế trái của phương trình là vi phân tổng của x ² y.

Đôi khi rất khó để tìm ra hệ số tích phân. Tuy nhiên, có hai loại phương trình vi phân mà hệ số tích phân có thể được tìm thấy dễ dàng. Các phương trình đó có hệ số tích phân có các hàm của riêng x hoặc riêng y.

Khi bạn xem xét phương trình vi phân P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0, hai trường hợp liên quan là:

Trường hợp 1: Nếu  1Q ( x , y)[PY( x , y) –Qx( x , y) ] = h ( x ), là một hàm của riêng x, thì e∫h ( x ) dx  là một yếu tố tích hợp

Trường hợp 2: Nếu1P( x , y)[Qx( x , y) –PY( x , y) ] = k ( y), là một hàm của riêng y, thìe∫k ( y) dY là một yếu tố tích hợp

Cách giải phương trình vi phân chính xác

Các bước sau đây giải thích cách giải phương trình vi phân chính xác một cách chi tiết.

Bước 1: Bước đầu tiên để giải phương trình vi phân chính xác là đảm bảo phương trình vi phân đã cho là chính xác bằng cách sử dụng thử nghiệm về độ chính xác.

∂Q∂x=∂P∂YBước 2: Viết hệ hai phương trình vi phân xác định hàm số u (x, y). Đó là

∂u∂x= P( x , y) ∂u∂Y= Q ( x , y)Bước 3: Tích phân phương trình thứ nhất trên biến x, ta được

u ( x , y) = ∫P( x , y) dx + φ ( y)Thay vì một hằng số C tùy ý, hãy viết một hàm chưa biết của y.

Bước 4: Phân biệt y, thay hàm u (x, y) vào phương trình thứ hai

∂u∂Y=∂∂Y⌊ ∫P( x , y) dx + φ ( y) ⌋ =Q(x,y)Từ biểu thức trên ta nhận được đạo hàm của hàm số chưa biết φ ( y) và nó được đưa ra bởi

φ ( y) = Q ( x , y) –∂∂Y( ∫P( x , y) dx )Bước 5: Chúng ta có thể tìm thấy hàm φ ( y) bằng cách tích phân biểu thức cuối cùng, để hàm u (x, y) trở thành

u ( x , y) = ∫P( x , y) dx + φ ( y)Bước 6: Cuối cùng, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân chính xác được đưa ra bởi

u (x, y) = C.

Ngoài ra, hãy đọc: Phương trình vi phân bậc nhất

Ví dụ về phương trình vi phân chính xác

Một số ví dụ về phương trình vi phân chính xác như sau:

• (2xy – 3x ² ) dx + (x ² – 2y) dy = 0
• (xy ² + x) dx + yx ² dy = 0
• Cos y dx + (y ² – x sin y) dy = 0
• (6x ² – y +3) dx + (3y ² -x – 2) dy = 0
• e ^y dx + (2y + xe ^y ) dy = 0

Các vấn đề về phương trình vi phân chính xác

Đi qua bài toán dưới đây để giải phương trình vi phân chính xác.

Câu hỏi : Tìm nghiệm của phương trình vi phân (2xy – sin x) dx + (x ² – cos y) dy = 0

Giải pháp:

Cho trước, (2xy – sin x) dx + (x ² – cos y) dy = 0

Đầu tiên hãy kiểm tra phương trình này để biết độ chính xác,

∂Q∂x=∂∂x(x2– cosY) = 2 x∂P∂Y=∂∂Y( 2 x y– không cóx ) = 2 xPhương trình chính xác vì nó thỏa mãn điều kiện

∂Q∂x=∂P∂YTừ hệ hai phương trình, hãy tìm các hàm u (x, y)

∂u∂x= 2 x y– không cóx …. (1)

∂u∂Y=x2– cosY …. (2)

Bằng cách tích phân phương trình đầu tiên với biến x, chúng ta nhận được

u ( x , y) = ∫( 2 x y– không cóx ) dx =x2+ cosx + φ ( y)Thay phương trình trên vào phương trình (2), nó trở thành

∂u∂Y=∂∂Y[x2Y+ cosx + φ ( y) ] =x2– cosY⇒x2+ φ ( y) =x2– c o s yChúng tôi nhận được, ⇒ φ ( và) = – c o s y

Vì thế, φ ( y) = ∫( – cosY) dY= – không cóY

Vì vậy, hàm u (x, y) trở thành

u (x, y) = x ² y + cos x – sin y

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình vi phân đã cho là

x ² y + cos x – sin y = C

Xem thêm: