Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Phương trình vi phân đồng nhất là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Phương trình vi phân có dạng f (x, y) dy = g (x, y) dx được cho là phương trình vi phân thuần nhất nếu mức độ của  f (x, y) và g (x, y)  là như nhau. Một hàm dạng F (x, y) có thể viết dưới dạng k  F (x, y) được cho là một hàm thuần nhất bậc n, với k ≠ 0. Do đó, f và g là các hàm thuần nhất cùng bậc của x và y. Ở đây, sự thay đổi của biến y = ux hướng đến một phương trình có dạng;

dx / x = h (u) du

có thể dễ dàng tích hợp.

Ngược lại, một phương trình vi phân là thuần nhất nếu nó là một hàm tương tự của hàm ẩn và các đạo hàm của nó. Đối với phương trình vi phân tuyến tính, không có số hạng nào là hằng số. Các nghiệm của bất kỳ phương trình vi phân tuyến tính thông thường có bậc hoặc bậc nào có thể được tính bằng tích phân từ nghiệm của phương trình thuần nhất đạt được bằng cách loại bỏ số hạng hằng số.

Hãy xem xét các hàm sau theo x và y,

1 (x, y) = 2x – 8y

2 (x, y) = x 2 + 8xy + 9y 2

3 (x, y) = sin (x / y)

4 (x, y) = sin x + cos y

Nếu chúng ta thay thế x và y tương ứng với vx và vy, với giá trị khác 0 của v, chúng ta nhận được

1 (vx, vy) = 2 (vx) −8 (vy) = v (2x – 8y) = vF 1 (x, y)

2 (vx, vy) = v 2 x  + 8 (vx) (vy) + 9v 2 y  = v 2 (x 2 + 8xy + 9y 2 ) = v 2 F 2 (x, y)

3 (vx, vy) = sin (vx / vy) = v 0 sin (vx / vy) = v 0 F 3 (x, y)

4 (vx, vy) = sin (vx) + cos (vy) ≠ v n F 4 (x, y)

Do đó, các hàm F , F 2 , F  có thể được viết dưới dạng v n F (x, y), trong khi F 4  không thể được viết. Do đó, ba chức năng đầu tiên là các chức năng đồng nhất và chức năng cuối cùng là không đồng nhất.

Ngoài ra, hãy đọc:

  • Phương trình vi phân
  • Phương trình vi phân từng phần
  • Phương trình vi phân chính xác
  • Phương trình vi phân bậc nhất
  • Giải các phương trình vi phân có thể tách biệt
  • Phương trình vi phân cho lớp 12

Các bước giải phương trình vi phân đồng nhất

Chắc hẳn các bạn đã học cách giải phương trình vi phân ở các phần trước. Để giải một phương trình vi phân thuần nhất, các bước sau được thực hiện theo các bước sau:

Cho phương trình vi phân loại d yd xFyg(Yx)

Bước 1- Thay  y = vx vào phương trình vi phân đã cho.

Bước 2 – Phân biệt, chúng tôi nhận được,dYdxxdvdx. Bây giờ thay giá trị của và y vào phương trình vi phân đã cho, chúng ta nhận được

xdvdxg)

⇒ xdvdxg– v

Bước 3 – Tách các biến, chúng ta nhận được

dvg– v=dxx

Bước 4 – Tích cả hai vế của phương trình, ta có

dvg– vddxxC

Bước 5 – Sau khi tích hợp chúng ta thay thế v = y / x

Ví dụ đã giải quyết

Giải ra dy / dx = (xy) / (x + y)

Lời giải: Cho, dy / dx = (xy) / (x + y)

Chia RHS cho x

((xy) / x) / ((x + y) / x) = (1-y / x) / (1 + y / x)

Bây giờ, chúng ta có thể viết;

dy / dx = (1-y / x) / (1 + y / x)

Nếu y = vx và dy / dx = v + xdv / dx

Sau đó,

v + xdv / dx = (1-v) / (1 + v)

Trừ v từ cả hai phía;

xdv / dx = (1-v) / (1 + v) – v

xdv / dx = [(1-v) / (1 + v)] – [(v + v 2 ) / (1 + v)]

xdv / dx = (1-2v-v 2 )) / (1 + v)

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tách các biến;

(1 + v) / (1-2v-v 2 ) dv = (1 / x) dx

Tích hợp cả hai bên;

∫ (1 + v) / (1-2v-v 2 ) dv = ∫ (1 / x) dx

-1/2 ln (1-2v-v 2 ) = ln (x) + C

Đặt C = ln (k)

-1/2 ln (1-2v-v 2 ) = ln (x) + ln (k)

(1-2v-v 2 ) -1/2 = kx

hoặc chúng ta có thể viết;

1-2v-v 2  = 1 / k 2 x 2

Một lần nữa, đặt v = y / x;

1-2 (y / x) – (y / x) 2  = 1 / k 2 x 2

Loại bỏ số hạng x 2  khỏi mẫu số ở cả hai vế, ta được;

2 -2xy-y 2  = 1 / k 2

hoặc là

2 + 2xy-x  = -1 / k 2

Bây giờ, đặt – / k 2  = c

Thêm 2x 2  vào cả hai bên;

2 + 2xy + x 2  = c + 2x 2

Bây giờ tính nhân tử của phương trình trên, chúng ta nhận được;

(y + x) 2  = 2x 2 + c

y + x = √ (2x 2 ) + c

Hoặc y = ± √ (2x 2 + c) – x

Đây là lời giải cho phương trình đã cho.

Phương trình vi phân không thuần nhất

Một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai được biểu diễn bởi;

y ”+ p (t) y ‘+ q (t) y = g (t)

trong đó g (t) là một hàm khác 0.

Phương trình thuần nhất liên kết là;

y ”+ p (t) y ‘+ q (t) y = 0

mà còn được gọi là phương trình bổ sung.

Đây là tất cả về giải pháp cho phương trình vi phân thuần nhất. Để tìm hiểu thêm về chủ đề này, hãy tải xuống BYJU’S- Ứng dụng Học tập.

Ví dụ về phương trình thuần nhất

Q.1: Tìm phương trình của đường cong đi qua điểm ,Số Pi3) khi tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ tạo thành một góc an– 1(Yx– in2Yx). 

Giải pháp: ϕ an(Yx– in2Yx)

Hoặc là dYdxϕ =Yx– in2Yx

Vì phương trình này biểu diễn một phương trình vi phân loại thuần nhất do đó chúng ta thay thế Yx trong phương trình trên.

⇒ xdvdx– tôin2v

⇒ xdvdx– tôin2v

dxx– hoặc ec2dv

Bây giờ tích hợp cả hai cạnh wrt tương ứng với x và v, chúng ta nhận được

dxx– hoặc ec2dv

=1vC …………………(Tôi)

Cũng như khi nó đi qua điểm ,Số Pi3), cho (x, y).

Chúng ta biết rằng v = y / x, do đó giá trị của v = Số Pi3÷ =Số Pi6

Vì vậy, thay các giá trị của x và v vào phương trình (i), chúng ta nhận được

=3C

⇒ C3

Hoặc là =1v3

Hoặc là =1nYx3

Đây là giải pháp bắt buộc.

Q.2: Tìm phương trình của đường cong đi qua điểm (1, -2) khi tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ cho bởi Y+Y3)(Y3– ).

Giải: Phương trình tiếp tuyến biểu diễn hệ số góc của đường cong tức là

Phương trình này là thuần nhất về bản chất.

Trên phép nhân chéo, chúng tôi nhận được- xY3x2dYy+Y4dx

Giải phương trình, chúng ta nhận được

x2Y3dY– dx )x2– dY– d0

x2Y3dYx x d( x y0

Chia cả hai bên bằng x3Y2 chúng tôi nhận được,

Yxd(Yxdxy)x2Y20

Bây giờ tích phân phương trình này với Yxmột n dy chúng ta có,

Yxd(Yxdxy)x2Y2

12(Yx)21yC………………. (1)

Bây giờ thay giá trị của điểm đã cho vào phương trình trên, chúng ta có

12× 12C

⇒ C=32

Đặt giá trị này của hằng số C vào phương trình (1) ta được

12(Yx)2+1y=32

Đây là giải pháp bắt buộc.

0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x