Phương trình vi phân đồng nhất là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

có thể dễ dàng tích hợp.

Ngược lại, một phương trình vi phân là thuần nhất nếu nó là một hàm tương tự của hàm ẩn và các đạo hàm của nó. Đối với phương trình vi phân tuyến tính, không có số hạng nào là hằng số. Các nghiệm của bất kỳ phương trình vi phân tuyến tính thông thường có bậc hoặc bậc nào có thể được tính bằng tích phân từ nghiệm của phương trình thuần nhất đạt được bằng cách loại bỏ số hạng hằng số.

Hãy xem xét các hàm sau theo x và y,

F ₁ (x, y) = 2x – 8y

F ₂ (x, y) = x ² + 8xy + 9y ²

F ₃ (x, y) = sin (x / y)

F ₄ (x, y) = sin x + cos y

Nếu chúng ta thay thế x và y tương ứng với vx và vy, với giá trị khác 0 của v, chúng ta nhận được

F ₁ (vx, vy) = 2 (vx) −8 (vy) = v (2x – 8y) = vF ₁ (x, y)

F ₂ (vx, vy) = v ² x ²  + 8 (vx) (vy) + 9v ² y ²  = v ² (x ² + 8xy + 9y ² ) = v ² F ₂ (x, y)

F ₃ (vx, vy) = sin (vx / vy) = v ⁰ sin (vx / vy) = v ⁰ F ₃ (x, y)

F ₄ (vx, vy) = sin (vx) + cos (vy) ≠ v ⁿ F ₄ (x, y)

Do đó, các hàm F ₁ , F ₂ , F ₃  có thể được viết dưới dạng v ⁿ F (x, y), trong khi F ₄  không thể được viết. Do đó, ba chức năng đầu tiên là các chức năng đồng nhất và chức năng cuối cùng là không đồng nhất.

Ngoài ra, hãy đọc:

Các bước giải phương trình vi phân đồng nhất

Chắc hẳn các bạn đã học cách giải phương trình vi phân ở các phần trước. Để giải một phương trình vi phân thuần nhất, các bước sau được thực hiện theo các bước sau:

Cho phương trình vi phân loại d yd x= F( x , y) = g(Yx)

Bước 1- Thay  y = vx vào phương trình vi phân đã cho.

Bước 2 – Phân biệt, chúng tôi nhận được,dYdx= v + xdvdx. Bây giờ thay giá trị của và y vào phương trình vi phân đã cho, chúng ta nhận được

v + xdvdx= g( v )

⇒ xdvdx= g( v ) – v

Bước 3 – Tách các biến, chúng ta nhận được

dvg( v ) – v=dxx

Bước 4 – Tích cả hai vế của phương trình, ta có

∫dvg( v ) – vdv = ∫dxx+ C

Bước 5 – Sau khi tích hợp chúng ta thay thế v = y / x

Ví dụ đã giải quyết

Giải ra dy / dx = (xy) / (x + y)

Lời giải: Cho, dy / dx = (xy) / (x + y)

Chia RHS cho x

((xy) / x) / ((x + y) / x) = (1-y / x) / (1 + y / x)

Bây giờ, chúng ta có thể viết;

dy / dx = (1-y / x) / (1 + y / x)

Nếu y = vx và dy / dx = v + xdv / dx

Sau đó,

v + xdv / dx = (1-v) / (1 + v)

Trừ v từ cả hai phía;

xdv / dx = (1-v) / (1 + v) – v

xdv / dx = [(1-v) / (1 + v)] – [(v + v ² ) / (1 + v)]

xdv / dx = (1-2v-v ² )) / (1 + v)

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tách các biến;

(1 + v) / (1-2v-v ² ) dv = (1 / x) dx

Tích hợp cả hai bên;

∫ (1 + v) / (1-2v-v ² ) dv = ∫ (1 / x) dx

-1/2 ln (1-2v-v ² ) = ln (x) + C

Đặt C = ln (k)

-1/2 ln (1-2v-v ² ) = ln (x) + ln (k)

(1-2v-v ² ) ^-1/2 = kx

hoặc chúng ta có thể viết;

1-2v-v ²  = 1 / k ² x ²

Một lần nữa, đặt v = y / x;

1-2 (y / x) – (y / x) ²  = 1 / k ² x ²

Loại bỏ số hạng x ²  khỏi mẫu số ở cả hai vế, ta được;

x ² -2xy-y ²  = 1 / k ²

hoặc là

y ² + 2xy-x ²  = -1 / k ²

Bây giờ, đặt – / k ²  = c

Thêm 2x ²  vào cả hai bên;

y ² + 2xy + x ²  = c + 2x ²

Bây giờ tính nhân tử của phương trình trên, chúng ta nhận được;

(y + x) ²  = 2x ² + c

y + x = √ (2x ² ) + c

Hoặc y = ± √ (2x ² + c) – x

Đây là lời giải cho phương trình đã cho.

Phương trình vi phân không thuần nhất

Một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc hai được biểu diễn bởi;

y ”+ p (t) y ‘+ q (t) y = g (t)

trong đó g (t) là một hàm khác 0.

Phương trình thuần nhất liên kết là;

y ”+ p (t) y ‘+ q (t) y = 0

mà còn được gọi là phương trình bổ sung.

Đây là tất cả về giải pháp cho phương trình vi phân thuần nhất. Để tìm hiểu thêm về chủ đề này, hãy tải xuống BYJU’S- Ứng dụng Học tập.

Ví dụ về phương trình thuần nhất