Phương trình vi phân

• Định nghĩa
• Các loại
• Các giải pháp
• Đặt hàng
• Trình độ
• Phương trình vi phân thường
• Các ứng dụng
• Ví dụ trong thế giới thực
• Giải quyết vấn đề

Định nghĩa phương trình vi phân

Một phương trình vi phân là một phương trình mà chứa một hay nhiều điều khoản và các dẫn xuất của một biến (ví dụ, biến phụ thuộc) đối với các biến khác với (ví dụ, biến độc lập)

dy / dx = f (x)

Ở đây “x” là một biến độc lập và “y” là một biến phụ thuộc

Ví dụ: dy / dx = 5x

Một phương trình vi phân chứa các đạo hàm là đạo hàm riêng hoặc đạo hàm thông thường. Đạo hàm biểu thị tốc độ thay đổi, và phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa đại lượng liên tục thay đổi so với sự thay đổi của đại lượng khác. Có rất nhiều công thức phương trình vi phân để tìm nghiệm của đạo hàm.

Các loại phương trình vi phân

Phương trình vi phân có thể được chia thành một số loại cụ thể là

• Phương trình vi phân thường
• Phương trình vi phân từng phần
• Phương trình vi phân tuyến tính
• Phương trình vi phân phi tuyến tính
• Phương trình vi phân đồng nhất
• Phương trình vi phân không đồng nhất

Giải pháp phương trình vi phân

Có hai phương pháp để tìm nghiệm của phương trình vi phân.

1. Tách các biến
2. Yếu tố tích hợp

Việc tách biến được thực hiện khi phương trình vi phân có thể được viết dưới dạng dy / dx = f (y) g (x) trong đó f chỉ là hàm của y và g chỉ là hàm của x. Lấy một điều kiện ban đầu, viết lại bài toán này dưới dạng 1 / f (y) dy = g (x) dx và sau đó tích phân cả hai phía.

Ngoài ra, hãy kiểm tra:  Giải các phương trình vi phân có thể tách biệt

Kỹ thuật tích phân nhân tử được sử dụng khi phương trình vi phân có dạng dy / dx + p (x) y = q (x) trong đó p và q chỉ là hàm của x.

Phương trình vi phân cấp một có dạng y ‘+ P (x) y = Q (x). trong đó P và Q đều là hàm của x và là đạo hàm bậc nhất của y. Phương trình vi phân bậc cao là phương trình chứa các đạo hàm của một hàm chưa biết có thể là đạo hàm riêng hoặc đạo hàm thường. Nó có thể được biểu diễn theo bất kỳ thứ tự nào.

Chúng tôi cũng cung cấp công cụ giải phương trình vi phân để tìm giải pháp cho các vấn đề liên quan.

Thứ tự của phương trình vi phân

Bậc của phương trình vi phân là bậc của đạo hàm cấp cao nhất có trong phương trình. Dưới đây là một số ví dụ cho các bậc khác nhau của phương trình vi phân được đưa ra.

• dy / dx = 3x + 2, Bậc của phương trình là 1
• (d ² y / dx ² ) + 2 (dy / dx) + y = 0. Bậc là 2
• (dy / dt) + y = kt. Thứ tự là 1

Phương trình vi phân bậc nhất

Bạn có thể thấy trong ví dụ đầu tiên, nó là một phương trình vi phân cấp một có bậc bằng 1. Tất cả các phương trình tuyến tính ở dạng đạo hàm đều ở bậc một. Nó chỉ có đạo hàm đầu tiên như dy / dx, trong đó x và y là hai biến và được biểu diễn dưới dạng:

dy / dx = f (x, y) = y ‘

Phương trình vi phân bậc hai

Phương trình bao gồm đạo hàm cấp hai là phương trình vi phân cấp hai. Nó được đại diện là;

d / dx (dy / dx) = d ² y / dx ² = f ”(x) = y”

Mức độ của phương trình vi phân

Các mức độ của các phương trình vi phân là sức mạnh của đạo hàm cao nhất theo thứ tự, nơi mà các phương trình ban đầu được thể hiện dưới dạng một phương trình đa thức trong các dẫn xuất như y’, y”, y”, và vân vân.

Giả sử (d ² y / dx ² ) + 2 (dy / dx) + y = 0 là phương trình vi phân nên cấp của phương trình này là 1. Xem thêm một số ví dụ tại đây:

• dy / dx + 1 = 0, độ là 1
• (y ”’) ³ + 3y” + 6y’ – 12 = 0, độ là 3

Phương trình vi phân thường

Một phương trình vi phân thông thường liên quan đến hàm và các đạo hàm của nó. Nó chỉ chứa một biến độc lập và một hoặc nhiều đạo hàm của nó đối với biến.

Bậc của phương trình vi phân thông thường được định nghĩa là bậc của đạo hàm cao nhất xảy ra trong phương trình. Dạng tổng quát của ODE bậc n được cho là

F (x, y, y ‘,…., Y ⁿ ) = 0

Các ứng dụng

Chúng ta hãy xem một số ứng dụng của phương trình vi phân trong thời gian thực.

1) Các phương trình vi phân mô tả các tăng trưởng và giảm dần theo cấp số nhân.

2) Chúng cũng được sử dụng để mô tả sự thay đổi của lợi tức đầu tư theo thời gian.

3) Chúng được sử dụng trong lĩnh vực khoa học y tế để mô hình hóa sự phát triển của ung thư hoặc sự lây lan của bệnh tật trong cơ thể.

4) Chuyển động của điện cũng có thể được mô tả với sự trợ giúp của nó.

5) Chúng giúp các nhà kinh tế tìm ra các chiến lược đầu tư tối ưu.

6) Chuyển động của sóng hoặc con lắc cũng có thể được mô tả bằng cách sử dụng các phương trình này.

Các ứng dụng khác nhau trong kỹ thuật là: phân tích dẫn nhiệt, trong vật lý nó có thể được sử dụng để hiểu chuyển động của sóng. Phương trình vi phân thông thường có thể được sử dụng như một ứng dụng trong lĩnh vực kỹ thuật để tìm mối quan hệ giữa các bộ phận khác nhau của cầu.

Ví dụ về phương trình vi phân tuyến tính trong thế giới thực

Để hiểu phương trình vi phân, chúng ta hãy xem xét ví dụ đơn giản này. Bạn đã bao giờ nghĩ tại sao một tách cà phê nóng lại nguội khi để ở điều kiện bình thường? Theo Newton, sự lạnh đi của một vật nóng tỷ lệ với sự chênh lệch nhiệt độ giữa nhiệt độ T  và nhiệt độ T ₀  của xung quanh nó. Tuyên bố này về mặt toán học có thể được viết như sau:

dT / dt ∝ (T – T ₀ ) ………… (1)

Đây là dạng của một phương trình vi phân tuyến tính.

Giới thiệu hằng số tỉ lệ k , phương trình trên có thể được viết thành:

dT / dt = k (T – T ₀ )    ………… (2)

Ở đây, T là nhiệt độ của cơ thể  và t là thời gian,

T ₀ là nhiệt độ của môi trường xung quanh,

dT / dt  là tốc độ làm mát của cơ thể

Vd: dy / dx = 3x

Ở đây, phương trình vi phân chứa đạo hàm bao gồm một biến (biến phụ thuộc, y) và một biến khác (biến độc lập, x). Các loại phương trình vi phân là:

1. Một phương trình vi phân thông thường chứa một biến độc lập và các đạo hàm của nó. Nó thường được gọi là ODE. Định nghĩa tổng quát của phương trình vi phân thông thường có dạng: Cho F, một hàm os x và y và đạo hàm của y, chúng ta có

F (x, y, y ‘… ..y ^ (n1)) = y (n) là một phương trình vi phân thông thường tường minh bậc n.

2. Phương trình vi phân từng phần có chứa một hoặc nhiều biến độc lập.

Giải quyết vấn đề

Câu hỏi:

Xác minh rằng hàm y  = e ^-3x  là một nghiệm của phương trình vi phân = .d2ydx2 + dydx – 6 năm 0

Giải pháp:

Hàm số đã cho là = . Chúng tôi phân biệt cả hai vế của phương trình đối với ,ye– 3 xx

dydx =– 3e– 3 x

Bây giờ chúng ta lại phân biệt phương trình trên với x,

d2ydx2 =9e– 3 x

Chúng tôi thay thế các giá trị của  và trong phương trình vi phân đã cho trong câu hỏi,dydx,d2ydx2y

Về phía tay trái, chúng tôi nhận được, LHS =  9e ^-3x + (-3e ^-3x ) – 6e ^-3x

= 9e ^-3x  – 9e ^-3x  = 0  (tương đương với RHS)

Do đó, hàm số đã cho là một nghiệm của phương trình vi phân đã cho.

Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, hãy đăng ký BYJU’S- Ứng dụng Học tập và cũng có thể xem các video tương tác để học một cách dễ dàng.