Quy tắc bệnh viện L là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Quy tắc Bệnh viện L là gì?

Quy tắc bệnh viện L là một phương pháp chung để đánh giá các dạng không xác định như 0/0 hoặc ∞ / ∞. Để đánh giá giới hạn của các dạng không xác định cho các đạo hàm trong giải tích, quy tắc của Bệnh viện L được sử dụng. Quy tắc bệnh viện L có thể được áp dụng nhiều lần. Bạn có thể áp dụng quy tắc này nhưng nó vẫn giữ bất kỳ hình thức vô thời hạn nào sau khi áp dụng. Nếu vấn đề nằm ngoài các dạng không xác định, bạn không thể áp dụng Quy tắc riêng lẻ L.

Công thức Quy tắc Bệnh viện L

Quy tắc của bệnh viện L ‘nói rằng

Lưu ý: Giới hạn thương số của hàm số tương đương với giới hạn thương số của các đạo hàm của chúng, với điều kiện thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Chứng minh Quy tắc Bệnh viện L

Bằng cách sử dụng Định lý Giá trị Trung bình Mở rộng hoặc Định lý Giá trị Trung bình Cauchy, quy tắc Bệnh viện L có thể được chứng minh.

Nếu f và g là hai hàm số liên tục trên khoảng [a, b] và đồng biến trên khoảng (a, b) thì

f ‘(c) / g’ (c) = [f (b) -f (a)] / [g (b) -g (a)] sao cho c thuộc (a, b).

Giả sử hai hàm số f và g xác định trên khoảng (c, b) sao cho f (x) → 0 và g (x) → 0, với x → c ⁺ .

Nhưng chúng ta có f ‘(c) / g’ (c) có xu hướng giới hạn hữu hạn. Các hàm f và g là phân biệt và f ‘(x) và g’ (x) tồn tại trên tập [c, c + k], và f ‘và g’ liên tục trên khoảng [c, c + k ] với các điều kiện f (c) = g (c) = 0 và g ‘(c) ≠ 0 trên khoảng [c, c + k].

Theo Định lý Giá trị Trung bình Cauchy phát biểu rằng tồn tại c _k ∈ (c, c + k), sao cho

f ‘(c _k ) / g’ (c _k ) = [f (c + k) -f (c)] / [g (c + k) -g (c)] = f (c + k) / g (c + k)

Bây giờ, k → 0 ⁺ _,

limk →0+f′(ck)g′(ck)=limx →c+f′( x )g′( x )Trong khi, limk →0+f( c + k )g( c + k )=limx →0+f( x )g( x )

Vì vậy chúng tôi có limx →c+f( x )g( x )=limx →c+f′( x )g′( x )

Sử dụng Quy tắc Bệnh viện L

Sử dụng quy tắc Bệnh viện L, chúng ta có thể giải quyết vấn đề ở các dạng 0/0, ∞ / ∞, ∞ – ∞, 0 x ∞, 1∞, ∞ ⁰ hoặc 0 ⁰ . Các dạng này được gọi là dạng không xác định. Để loại bỏ các dạng không xác định trong bài toán, chúng ta có thể sử dụng quy tắc Bệnh viện L.

Ví dụ về Quy tắc Bệnh viện L

Dưới đây là một số ví dụ về quy tắc Bệnh viện L:

Ví dụ 1:

Đánh giá limx → 0 (2 sin x – sin 2x) / (x – sin x)

Giải pháp:

Được:

limx → 0 (2 sin x – sin 2x) / (x – sin x)

Phân biệt mẫu trên, ta được

= limx → 0 (2 cos x – 2 cos 2x) / (1 – cos x)

= limx → 0 (-2 sin x + 4 sin 2x) / (sin x)

= limx → 0 (-2 cos x + 8 cos 2x) / (cosx)

Bây giờ thay thế giới hạn,

= -2 + 8/1 = 6/1 = 6

Vì thế, limx → 0 (2 sin x – sin 2x) / (x – sin x) = 6.

Ví dụ 2:

Đánh giá limx → 0 không có 3x / không có 4x

Giải pháp:

Được: limx → 0 không có 3x / không có 4x

= limx → 0 3cos 3x / 4 cos 4x

Bây giờ thay thế giới hạn,

= 3 cos 0/4 cos 0

= ¾

Vì thế, limx → 0 sin 3x / sin 4x = ¾.