Quy tắc tích hợp là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Quy tắc tích hợp của các chức năng cơ bản

Các quy tắc tích hợp được xác định cho các loại chức năng khác nhau. Hãy để chúng tôi tìm hiểu ở đây các quy tắc cơ bản để tích hợp các hàm phổ biến som, chẳng hạn như:

• Không thay đổi
• Biến đổi
• Quảng trường
• Đối ứng
• số mũ
• Lượng giác

Tích hợp hằng số

Việc tích hợp hàm hằng nói ‘a’ sẽ dẫn đến:

∫a dx = ax + C

Thí dụ:

∫4 dx = 4x + C

Tích hợp biến

Nếu x là biến bất kỳ thì;

∫x dx = x ² /2 + C

Tích hợp Square

Nếu hàm số đã cho là số hạng bình phương thì;

∫x ² dx = x ³ /3

Tích hợp đối ứng

Nếu 1 / x là một hàm nghịch biến của x, thì tích phân của hàm này là:

∫ (1 / x) dx = ln | x | + C (Nhật ký tự nhiên của x)

Tích hợp hàm mũ

Các quy tắc khác nhau để tích phân các hàm mũ là:

• ∫e ^x dx = e ^x + C
• ∫a ^x dx = a ^x / ln (a) + C
• ∫ln (x) dx = x ln (x) – x + C

Tích hợp hàm lượng giác

• ∫cos (x) dx = sin (x) + C
• ∫sin (x) dx = -cos (x) + C
• ∫ giây ² (x) dx = tan (x) + C

Các quy tắc tích hợp quan trọng

Các quy tắc quan trọng để tích hợp là:

• Quy tắc quyền lực
• Quy tắc tổng
• Quy tắc khác nhau
• Nhân với hằng số
• Quy tắc nhân

Quy tắc tích hợp quyền lực

Theo quy tắc lũy thừa của tích phân, nếu chúng ta tích hợp x nâng lên lũy thừa n, thì;

∫x ⁿ dx = (x ^{n + 1} / n + 1) + C

Theo quy tắc này, tích phân ở trên của số hạng bình phương là hợp lý, tức là∫x ² dx. Chúng ta có thể sử dụng quy tắc này, đối với các số mũ khác cũng vậy.

Ví dụ: Tích phân ∫x ³ dx.

∫x ³ dx = x ^{(3 + 1)} / (3 + 1) = x ⁴ /4

Quy tắc tổng hợp tích hợp

Quy tắc tổng giải thích tích tổng của hai hàm bằng tổng tích phân của mỗi hàm.

∫ (f + g) dx = ∫f dx + ∫g dx

Ví dụ: ∫ (x + x ² ) dx

= ∫x dx + ∫x ² dx

= X ² /2 + x ³ /3 + C

Quy tắc tích hợp khác biệt

Quy tắc tích phân sai khác tương tự như quy tắc tổng.

∫ (f – g) dx = ∫f dx – ∫g dx

Ví dụ: ∫ (x – x ² ) dx

= ∫x dx – ∫x ² dx

= X ² /2 – x ³ /3 + C

Nhân với hằng số

Nếu một hàm được nhân với một hằng số thì tích phân của hàm đó được cho bởi:

∫cf (x) dx = c∫f (x) dx

Ví dụ: ∫2x.dx

= 2∫x.dx

= 2 x ² /2 + C

= x ² + C

Ngoài các quy tắc đã cho ở trên, có hai quy tắc tích hợp khác:

Tích hợp theo bộ phận

Quy tắc này còn được gọi là quy tắc tích hợp. Đây là một loại phương pháp tích hợp đặc biệt khi hai hàm được nhân với nhau. Quy tắc tích hợp theo các bộ phận là:

∫ uv da = u∫ v da – ∫ u ‘(∫ v da) da

Ở đâu

• u là hàm của u (a)
• v là hàm của v (a)
• u ‘là đạo hàm của hàm u (a)

Tích hợp bằng cách thay thế

Tích phân bằng cách thay thế còn được gọi là “Quy tắc chuỗi ngược” hoặc “Phương pháp thay thế u” để tìm tích phân.

Bước đầu tiên trong phương pháp này là viết tích phân dưới dạng:

∫ f (g (x)) g ‘(x) dx

Bây giờ, chúng ta có thể thực hiện thay thế như sau:

g (x) = a và g ‘(a) = da

Bây giờ thay thế các giá trị tương đương trong biểu mẫu trên:

∫ f (a) da

Sau khi bạn tích hợp biểu mẫu trên, cuối cùng hãy thay thế các giá trị ban đầu.

Tìm hiểu thêm về: Tích hợp bằng cách thay thế

Các ví dụ đã giải quyết

Câu 1: ∫ 8 a ³ da là gì?

Giải pháp: Chúng ta có thể lấy 8 ra khỏi tích phân,

∫ 8 a ³ da = 8 ∫ a ³ da

8 a = ⁴ /4 + C

= 2 và ⁴ + C

Câu 2: ∫ 4 a ³ da là gì?

Giải pháp: Chúng ta có thể lấy 8 ra khỏi tích phân,

∫ 4 a ³ da = 4 ∫ a ³ da

A 4 = ⁴ /4 + C

= a ⁴ + C

Câu 3: ∫ Cos a + a da là gì?

Lời giải: ∫ Cos a + a da = ∫ Cos a da + ∫ a da

= Sin a + a ² /2 + C

Câu 4: ∫ Sin a + a da là gì?

Lời giải: ∫ China a + a da = ∫ China a da + ∫ a da

= – Cos a + a ² /2 + C

Đăng ký tại BYJU’S để tìm hiểu thêm về các Quy tắc toán học khác.