Trong lý thuyết xác suất, hai sự kiện được cho là loại trừ lẫn nhau nếu chúng không thể xảy ra đồng thời hoặc đồng thời. Nói cách khác, các sự kiện loại trừ lẫn nhau được gọi là các sự kiện rời rạc. Nếu hai sự kiện được coi là sự kiện rời rạc, thì xác suất của cả hai sự kiện xảy ra cùng một lúc sẽ bằng không. Nếu A và B là hai sự kiện thì xác suất rời nhau của sự kiện A và B được viết bởi:
Xác suất xảy ra sự kiện rời rạc (hoặc) loại trừ lẫn nhau = P (A và B) = 0
Trong xác suất, quy tắc cộng cụ thể hợp lệ khi hai sự kiện loại trừ lẫn nhau. Nó nói rằng xác suất của một trong hai sự kiện xảy ra là tổng xác suất của mỗi sự kiện xảy ra. Nếu A và B được cho là các sự kiện loại trừ lẫn nhau thì xác suất của sự kiện A xảy ra hoặc xác suất của sự kiện B xảy ra được cho là P (A) + P (B), tức là
P (A hoặc B) = P (A) + P (B)
Một số ví dụ về các sự kiện loại trừ lẫn nhau là:
- Khi tung đồng xu, sự kiện nhận được đầu và đuôi là loại trừ lẫn nhau. Vì xác suất ra đầu và đuôi đồng thời là 0.
- Trong một con xúc sắc sáu mặt, các sự kiện “2” và “5” loại trừ lẫn nhau. Chúng ta không thể nhận được cả sự kiện 2 và 5 cùng một lúc khi chúng ta ném một con chết.
- Trong một bộ bài 52 lá, rút một thẻ đỏ và rút một câu lạc bộ là những sự kiện loại trừ lẫn nhau vì tất cả các câu lạc bộ đều có màu đen.
Nếu các sự kiện A và B không loại trừ lẫn nhau, xác suất nhận được A hoặc B được cho là:
P (A hoặc B) = P (A) + P (B) – P (A và B)
Sự kiện phụ thuộc và độc lập
Hai sự kiện được cho là phụ thuộc nếu sự xuất hiện của một sự kiện này làm thay đổi xác suất của một sự kiện khác. Hai sự kiện được cho là các sự kiện độc lập nếu xác suất của một sự kiện đó không ảnh hưởng đến xác suất của một sự kiện khác. Nếu hai sự kiện loại trừ lẫn nhau, chúng không độc lập. Ngoài ra, các sự kiện độc lập không thể loại trừ lẫn nhau.
Quy tắc xác suất sự kiện loại trừ lẫn nhau
Trong lý thuyết xác suất, hai sự kiện loại trừ lẫn nhau hoặc rời rạc nếu chúng không xảy ra cùng một lúc. Một trường hợp rõ ràng là tập hợp các kết quả của một lần tung đồng xu, có thể kết thúc bằng đầu hoặc đuôi, nhưng không phải cho cả hai. Trong khi tung đồng xu, cả hai kết quả đều mang tính tổng thể, điều này cho thấy rằng ít nhất một trong các hệ quả phải xảy ra, do đó, hai khả năng này cùng làm cạn kiệt tất cả các khả năng. Mặc dù vậy, không phải tất cả các sự kiện loại trừ lẫn nhau đều thông thường là đầy đủ. Ví dụ, kết quả 1 và 4 của một con xúc xắc sáu mặt, khi chúng ta ném nó, là loại trừ lẫn nhau (cả 1 và 4 không thể xảy ra cùng một lúc) nhưng không mang tính tổng thể (nó có thể dẫn đến các kết quả riêng biệt, chẳng hạn như 2,3,5,6).
Từ định nghĩa của các sự kiện loại trừ lẫn nhau, các quy tắc nhất định cho xác suất được kết luận.
Quy tắc cộng: P (A + B) = 1
Quy tắc trừ: P (AUB) ‘ = 0
Quy tắc nhân: P (A ∩ B) = 0
Cũng có nhiều loại sự kiện khác nhau. Ví dụ, hãy nghĩ một đồng xu có Đầu ở cả hai mặt của đồng xu hoặc Đuôi ở cả hai mặt. Không quan trọng bạn lật nó bao nhiêu lần, nó sẽ luôn xảy ra Đầu (đối với đồng xu đầu tiên) và Đuôi (đối với đồng xu thứ hai). Nếu chúng tôi kiểm tra không gian mẫu của thử nghiệm như vậy, nó sẽ là {H} cho đồng tiền đầu tiên và {T} cho đồng tiền thứ hai. Các sự kiện như vậy có một điểm duy nhất trong không gian mẫu và được gọi là “Sự kiện đơn giản” . Hai sự kiện mẫu như vậy luôn loại trừ lẫn nhau.
Xác suất có điều kiện cho các sự kiện loại trừ lẫn nhau
Xác suất có điều kiện được phát biểu là xác suất của một sự kiện A, cho rằng một sự kiện B khác đã xảy ra. Xác suất có điều kiện cho hai sự kiện độc lập B đã cho A được biểu thị bằng biểu thức P (B | A) và nó được xác định bằng cách sử dụng phương trình
P (B | A) = P (A ∩ B) / P (A)
Định nghĩa lại phương trình trên bằng quy tắc nhân: P (A ∩ B) = 0
P (B | A) = 0 / P (A)
Vì vậy, công thức xác suất có điều kiện cho các sự kiện loại trừ lẫn nhau là:
P (B | A) = 0
Ví dụ với Giải pháp
Ở đây, bài toán mẫu cho các sự kiện loại trừ lẫn nhau được đưa ra chi tiết. Đi qua một lần để tìm hiểu một cách dễ dàng.
Câu hỏi 1: Xác suất để con súc sắc hiển thị số 3 hoặc số 5 là bao nhiêu?
Giải pháp: Hãy để,
P (3) là xác suất nhận được số 3
P (5) là xác suất nhận được số 5
P (3) = 1/6 và P (5) = 1/6
Vì thế,
P (3 hoặc 5) = P (3) + P (5)
P (3 hoặc 5) = (1/6) + (1/6) = 2/6
P (3 hoặc 5) = 1/3
Do đó, xác suất xuất hiện con xúc sắc 3 hoặc 5 là 1/3.
Câu 2: Ba đồng xu được tung cùng một lúc. Ta nói A là trường hợp nhận ít nhất 2 đầu. Tương tự như vậy, B biểu thị sự kiện không nhận được đầu và C là sự kiện nhận được đầu trên đồng thứ hai. Cái nào trong số này loại trừ lẫn nhau?
Giải pháp: Đầu tiên, chúng ta hãy tạo không gian mẫu cho mỗi sự kiện. Đối với sự kiện ‘A’, chúng ta phải có ít nhất hai đầu. Do đó, chúng ta phải bao gồm tất cả các sự kiện có từ hai đầu trở lên.
Hoặc chúng ta có thể viết:
A = {HHT, HTH, THH, HHH}.
Tập hợp A này có 4 phần tử hoặc sự kiện trong đó tức là n (A) = 4
Theo cách tương tự, đối với sự kiện B, chúng ta có thể viết mẫu là:
B = {TTT} và n (B) = 1
Một lần nữa sử dụng cùng một logic, chúng ta có thể viết;
C = {THT, HHH, HHT, THH} và n (C) = 4
Vì vậy, B & C và A & B loại trừ lẫn nhau vì chúng không có gì ở giao điểm của chúng.
