Tích phân của chức năng cụ thể là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Ở đây chúng ta sẽ thảo luận về tích phân của một số hàm quan trọng và xem việc sử dụng chúng trong nhiều tích phân tiêu chuẩn khác:

Cũng thấy:

• Công thức tích hợp cơ bản
• Ứng dụng của Tích phân

Chứng minh các hàm tích phân

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh sự tích hợp của các chức năng cụ thể.

Tích phân của hàm 1

(1) ∫d xx2–a2=12 akhúc gỗ∣ ∣ x  –  a x  +  a ∣ ∣ +  C

Hàm tích phân có thể được chia thành các tổng của một phần, tức là

∫dxx2–a2= ∫dx( x – a ) ( x + a )= ∫A( x – a ). dx + ∫B( x + a ). dx……………(Tôi)

Giải các giá trị của A và B, chúng ta có,

1 = A ( x + a ) + B ( x – a ),

Đặt x = a và sau đó -a, chúng ta nhận được giá trị của A và B là 12 a và –12 a tương ứng.

Thay các giá trị này vào (i), chúng ta có

∫dxx2–a2= ∫dx2 a ( x – a )+ ∫– dx2 a ( x + a )

=12 a[ ∫dx( x – a )– ∫dx( x + a )]

=12 a[ nhật ký| x – a | – nhật ký| x + a | ]+C

=12 akhúc gỗ∣∣x – ax + a∣∣+ C

Tích phân của hàm 2

(2) ∫d xa2–x2=12 akhúc gỗ∣∣a + xa – x∣∣+ C

Chia hàm thành tổng của phân số từng phần, chúng ta có

∫dxa2–x2= ∫Aa – x. dx + ∫Ba + x. dx

Giải các giá trị của A và B, ta có

∫dxa2–x2= ∫dx2 a ( a – x )+ ∫dx2 a ( a + x )

=12 a[ ∫dx( a – x )+ ∫dx( a + x )]

=12 a[ – nhật ký| a – x | + nhật ký| a + x | ]+C

=12 akhúc gỗ∣∣a + xa – x∣∣+ C

Tích phân của hàm 3

(3) ∫d xx2+a2=1arám nắng– 1(xa) +C

Thay thế x = a tanθ……….(Tôi)

dx = agiây2θ . dθ

∫dxx2+a2= ∫agiây2θ . dθa2rám nắng2θ +a2

=1a∫giây2θ . dθ giây2θ=1a∫dθ

=1aθ + C ……………… (ii)

Từ (i), chúng tôi biết θ =rám nắng– 1xa,

vì thế ∫dxx2+a2=1arám nắng– 1xa+ C

Tích phân của hàm 4

(4) ∫d xx2–a2—–√= nhật ký∣∣x +x2–a2——-√∣∣+ C

Thay thế x = một giâyθ ……….(Tôi)

dx = một giâytôi tanθ . dθ

∫dxx2–a2√= ∫một giâytôi tanθ . dθa2giây2θ –a2√

= ∫một giâytôi tanθ . dθarám nắng2θ√

= ∫giâyθ . dθ

= nhật ký| giâyθ + rám nắngθ | +C1………. (Ii)

từ (tôi) chúng tôi biết giâyθ =xa và rám nắngθ =giây2θ – 1——-√=x2a2– 1—-√

Thay các giá trị này vào phương trình (ii), chúng ta có

∫dxx2–a2√= nhật ký∣∣xa+x2a2– 1—–√∣∣+C1

= nhật ký∣∣∣x +x2–a2√a∣∣∣+C1

= nhật ký∣∣x +x2–a2——√∣∣– nhật ký| a | +C1

<p= nhật ký∣∣x +x2–a2——√∣∣+ C,(Ở đâu C=C1+ nhật ký| a | )

Tích phân của hàm 5

(5) ∫d xa2–x2—–√=không có– 1(xa) +C

Đặt x = một tội lỗiθ

dx = a cosθ . dθ

∫dxa2–x2√= ∫một cosθ . dθa2–a2không có2θ√

= ∫một cosθ . dθa1 –không có2θ√

= ∫một cosθ . dθmột cosθ= ∫dθ

= θ + C

=không có– 1xa+ C

Tích phân của hàm 6

(6) ∫d xx2+a2——√= nhật ký∣∣x +x2+a2——-√∣∣+ C

Đặt x = a tanθ…………….(Tôi)

dx = agiây2θ dθ

∫dxx2+a2√= ∫agiây2θ dθa2rám nắng2θ +a2√

= ∫agiây2θ dθarám nắng2θ + 1√= ∫agiây2θ dθagiây2θ√

= ∫giâyθ . dθ

= nhật ký| giâyθ + rám nắngθ | +c………………. (Ii)

Từ (i), chúng tôi có rám nắngθ =xa và giâyθ =rám nắng2θ + 1——–√=x2a2+ 1—–√

Đưa những giá trị này vào (ii), chúng tôi nhận được

∫dxx2+a2√= nhật ký∣∣xa+x2a2+ 1—–√∣∣+ c

= nhật ký∣∣∣x +x2+ 1√a∣∣∣+ c

= nhật ký∣∣x +x2+ 1—–√∣∣– nhật kýa + c

= nhật ký∣∣x +x2+ 1—–√∣∣+ C  (Ở đâu C= c – nhật kýa)

Các công thức chuẩn này có thể được sử dụng để thu được các công thức mới và có thể được áp dụng trực tiếp để đánh giá các tích phân khác.

Tích phân của một số hàm khác

Chúng ta đã thảo luận về tích phân của sáu hàm đầu tiên với các chứng minh. Chúng ta hãy xem tích phân của một số chức năng khác.

Tích phân của hàm 7

(7) ∫d xax2+ b x + c

mẫu số có thể được viết là ax2+ b x + c = a [x2+bax +ca] =a [( x +b2 a)2+ (ca–b24a2) ]

Thay thế x +b2 a= t, vì thế dx = dt

Cũng thế ca–b24a2= ±k2

Do đó tích phân trở thành,

∫dxax2+ b x + c=1a∫dtt2±k2

Tích phân của hàm 8

(số 8) ∫p x + qax2+ b x + c. d x

trong đó p, q, a, b, c là các hằng số

p x + q= Add x( ax2+ b x + c ) = A ( 2 a x + b ) + B

chúng ta cân bằng hệ số của x của cả hai vế để xác định giá trị của A và B, và do đó tích phân được rút gọn thành một trong các dạng đã biết.

Ví dụ dựa trên tích phân của hàm