Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Tích phân kép là gì? Xem xong hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18

  • Để đảm bảo chất lượng học và dạy cũng như chất lượng đầu ra cho sinh viên, năm 2021 Khoa nhận đào tạo 200 sinh viên đối với ngành Đại Học Điều DưỡngDược tuyển sinh theo hình thức xét tuyển.
  • HOẶC NỘP HỒ SƠ TRỰC TUYẾN TẠI ĐÂY >>>  CLICK VÀO ĐÂY 
Tích phân kép chủ yếu được sử dụng để tìm diện tích bề mặt của hình 2d. Nó được biểu thị bằng ‘∫∫’. Chúng ta có thể dễ dàng tìm thấy diện tích của một vùng hình chữ nhật bằng tích phân kép. Nếu chúng ta biết tích phân đơn giản thì sẽ dễ dàng giải được các bài toán tích phân kép. Vì vậy, trước hết, chúng ta sẽ thảo luận về một số quy tắc cơ bản của tích hợp.

Tích phân là một phần rất quan trọng của giải tích. Có nhiều kiểu tích hợp như tích hợp đơn giản, tích hợp kép, tích hợp ba. Chúng ta thường sử dụng phép tính tích phân để tìm diện tích và thể tích trên một tỷ lệ rất lớn, có thể được xác định bằng các công thức hoặc phép tính đơn giản.

Quy tắc tích hợp kép

Trong giải tích, chúng ta thường tuân theo các quy tắc và công thức để thực hiện bất kỳ phương pháp tích phân nào. Để giải các bài toán tích phân, bạn phải nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau như tích phân theo bộ phận , tích phân thay thế hoặc sử dụng công thức. Trong trường hợp tích hợp kép cũng vậy, chúng ta sẽ thảo luận ở đây quy tắc tích hợp kép theo các bộ phận, được đưa ra bởi;

∫∫u dv / dx dx.dy = ∫ [uv -∫v du / dx dx] dy

Các thuộc tính của Tích phân kép

Các tính chất của tích phân kép như sau:

  • ∫ x = a b ∫ y = c d f (x, y) dy.dx = ∫ y = c d ∫ x = a b f (x, y) dx.dy
  • ∫∫ (f (x, y) ± g (x, y)) dA = ∫∫f (x, y) dA ± ∫∫g (x, y) dA
  • Nếu f (x, y) <g (x, y) thì ∫∫f (x, y) dA <∫∫g (x, y) dA
  • k ∫∫f (x, y) .dA = ∫∫kf (x, y) .dA
  • ∫∫ R∪S f (x, y) .dA = ∫∫ R f (x, y) .dA + ∫∫ s f (x, y) .dA

Ngoài ra, hãy đọc:

  • Hội nhập
  • Tích phân xác định
  • Tích hợp bằng cách thay thế
  • Quy tắc tích hợp
  • Tích phân cho lớp 12

Diện tích tích phân đôi

Cho z = f (x, y) xác định trên miền D trong mặt phẳng xy và chúng ta cần tìm tích phân kép của z. Nếu chúng ta chia vùng cần thiết thành các sọc dọc và cẩn thận tìm các điểm cuối cho x và y tức là các giới hạn của vùng, thì chúng ta có thể sử dụng công thức;

Công thức tích phân kép cho vùng được chia theo chiều dọc

Và, nếu chúng ta chia vùng được yêu cầu thành các sọc ngang và cẩn thận tìm các điểm cuối cho x và y, tức là các giới hạn của vùng, thì chúng ta có thể sử dụng công thức:

Công thức tích phân kép cho vùng được chia theo chiều ngang

Nếu hàm z là hàm liên tục thì;

Công thức Tích phân kép khi hàm là liên tục

Tích phân kép trong tọa độ cực

Trong tọa độ cực, tích phân kép có dạng:

Tích phân kép trong tọa độ cực

Trong loại tích phân kép này, đầu tiên, chúng ta phải tích phân f (r, θ) đối với r giữa các giới hạn r = r 1 và r = r 2 coi θ là hằng số và biểu thức kết quả được tích phân đối với θ từ θ 1 đến θ 2 . Ở đây r 1 và r 2 có thể là hằng số hoặc hàm của θ.

Trong trường hợp này, trước tiên, chúng ta phải tích phân f (r, θ) đối với θ giữa các giới hạn θ = θ 1 và θ = θ 2 và coi r như một hằng số và biểu thức kết quả được tích hợp đối với r và điều đó thời gian hàm của θ sẽ không đổi.

Ví dụ về Tích phân kép

Câu 1: Đánh giá ∬ (x 2 + y 2 ) dxdy

Giải: Giả sử, I = ∬ (x 2 + y 2 ) dxdy

I = ∫ [∫ (x 2 + y 2 ) dx] dy

I = ∫ [x 3 /3 + y 2 x] dy

I = x 3 y / 3 + xy 3 /3

I = [xy (x 2 + y 2 )] / 3

Câu 2: Giải hàm ∫∫x.logx.dx.dy

Giải pháp: Giả sử I = ∫∫x.logx.dx.dy

Đầu tiên, chúng ta hãy lấy tích phân bên trong của các hàm ∫x.logx dx.

Bằng quy tắc tích phân theo bộ phận, chúng ta có thể giải được tích phân trên;

∫x.logx dx = ∫ (logx) x dx

Hàm logarit trên hàm x với hàm x khác không được tích phân trực tiếp. Vì vậy, chúng ta có thể coi nó là;

u = log x và dv = x dx

Vì vậy, du = (1 / x) dx.v = x 2 /2

Do đó, ∫x.logx.dx = (logx) x 2 /2 – ∫ (x 2 /2) (1 / x) dx

= x 2/2 (logx) −1/2 ∫x.dx

Do đó, ∫x.logx.dx = x 2 /2 (logx) – 1 / 4x 2

Đây là kết quả thu được dưới phép tích phân từng phần đối với tích phân bên trong. Bây giờ, hãy vận hành nó với các hàm tích phân bên ngoài bằng cách:

∫∫x.logx.dxdy = ∫ [x 2/2 (logx) – 1 / 4x 2 ] dy

I = ∫ [x 2/2 (logx)] dy – ∫ [1 / 4x 2 ] dy

I = (x 2 y / 2) (log x) – 1 / 4x 2 y.dy + c

Câu 3: Giải ∬ (x + y) dxdy

Lời giải: Giả sử, I = ∬ (x + y) dxdy

I = ∫ [∫ (x + y) dx] dy

I = ∫ [x 2 /2 + yx] dy

I = x 2 y / 2 + xy 2 /2

I = (xy / 2) (x + y)

Câu 4: Giải ∬ (2x − 3y) dydx

Giải: Giả sử, I = ∬ (2x − 3y) dxdy

I = ∫ [∫ (2x − 3y) dx] dy

I = ∫ [2x 2 / 2−3yx]

I = x 2 y-3xy 2 /2

Vấn đề thực hành

Thực hành thêm các câu hỏi dựa trên khái niệm này. Dưới đây là một số vấn đề mà bạn có thể giải quyết để hiểu khái niệm này một cách tốt hơn.

  1. Đánh giá ∫∫x 2 y 3 dx.dy.
  2. Tích phân ∫∫xe x dx.dy.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

GIẢI TOÁN ONLINE SIÊU NHANH VÀ CHÍNH XÁC NHẤT

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/10/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.png
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x