Quy tắc tích hợp kép
Trong giải tích, chúng ta thường tuân theo các quy tắc và công thức để thực hiện bất kỳ phương pháp tích phân nào. Để giải các bài toán tích phân, bạn phải nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau như tích phân theo bộ phận , tích phân thay thế hoặc sử dụng công thức. Trong trường hợp tích hợp kép cũng vậy, chúng ta sẽ thảo luận ở đây quy tắc tích hợp kép theo các bộ phận, được đưa ra bởi;
∫∫u dv / dx dx.dy = ∫ [uv -∫v du / dx dx] dy |
Các thuộc tính của Tích phân kép
Các tính chất của tích phân kép như sau:
- ∫ x = a b ∫ y = c d f (x, y) dy.dx = ∫ y = c d ∫ x = a b f (x, y) dx.dy
- ∫∫ (f (x, y) ± g (x, y)) dA = ∫∫f (x, y) dA ± ∫∫g (x, y) dA
- Nếu f (x, y) <g (x, y) thì ∫∫f (x, y) dA <∫∫g (x, y) dA
- k ∫∫f (x, y) .dA = ∫∫kf (x, y) .dA
- ∫∫ R∪S f (x, y) .dA = ∫∫ R f (x, y) .dA + ∫∫ s f (x, y) .dA
Ngoài ra, hãy đọc:
|
Diện tích tích phân đôi
Cho z = f (x, y) xác định trên miền D trong mặt phẳng xy và chúng ta cần tìm tích phân kép của z. Nếu chúng ta chia vùng cần thiết thành các sọc dọc và cẩn thận tìm các điểm cuối cho x và y tức là các giới hạn của vùng, thì chúng ta có thể sử dụng công thức;
Và, nếu chúng ta chia vùng được yêu cầu thành các sọc ngang và cẩn thận tìm các điểm cuối cho x và y, tức là các giới hạn của vùng, thì chúng ta có thể sử dụng công thức:
Nếu hàm z là hàm liên tục thì;
Tích phân kép trong tọa độ cực
Trong tọa độ cực, tích phân kép có dạng:
Trong loại tích phân kép này, đầu tiên, chúng ta phải tích phân f (r, θ) đối với r giữa các giới hạn r = r 1 và r = r 2 coi θ là hằng số và biểu thức kết quả được tích phân đối với θ từ θ 1 đến θ 2 . Ở đây r 1 và r 2 có thể là hằng số hoặc hàm của θ.
Trong trường hợp này, trước tiên, chúng ta phải tích phân f (r, θ) đối với θ giữa các giới hạn θ = θ 1 và θ = θ 2 và coi r như một hằng số và biểu thức kết quả được tích hợp đối với r và điều đó thời gian hàm của θ sẽ không đổi.
Ví dụ về Tích phân kép
Câu 1: Đánh giá ∬ (x 2 + y 2 ) dxdy
Giải: Giả sử, I = ∬ (x 2 + y 2 ) dxdy
I = ∫ [∫ (x 2 + y 2 ) dx] dy
I = ∫ [x 3 /3 + y 2 x] dy
I = x 3 y / 3 + xy 3 /3
I = [xy (x 2 + y 2 )] / 3
Câu 2: Giải hàm ∫∫x.logx.dx.dy
Giải pháp: Giả sử I = ∫∫x.logx.dx.dy
Đầu tiên, chúng ta hãy lấy tích phân bên trong của các hàm ∫x.logx dx.
Bằng quy tắc tích phân theo bộ phận, chúng ta có thể giải được tích phân trên;
∫x.logx dx = ∫ (logx) x dx
Hàm logarit trên hàm x với hàm x khác không được tích phân trực tiếp. Vì vậy, chúng ta có thể coi nó là;
u = log x và dv = x dx
Vì vậy, du = (1 / x) dx.v = x 2 /2
Do đó, ∫x.logx.dx = (logx) x 2 /2 – ∫ (x 2 /2) (1 / x) dx
= x 2/2 (logx) −1/2 ∫x.dx
Do đó, ∫x.logx.dx = x 2 /2 (logx) – 1 / 4x 2
Đây là kết quả thu được dưới phép tích phân từng phần đối với tích phân bên trong. Bây giờ, hãy vận hành nó với các hàm tích phân bên ngoài bằng cách:
∫∫x.logx.dxdy = ∫ [x 2/2 (logx) – 1 / 4x 2 ] dy
I = ∫ [x 2/2 (logx)] dy – ∫ [1 / 4x 2 ] dy
I = (x 2 y / 2) (log x) – 1 / 4x 2 y.dy + c
Câu 3: Giải ∬ (x + y) dxdy
Lời giải: Giả sử, I = ∬ (x + y) dxdy
I = ∫ [∫ (x + y) dx] dy
I = ∫ [x 2 /2 + yx] dy
I = x 2 y / 2 + xy 2 /2
I = (xy / 2) (x + y)
Câu 4: Giải ∬ (2x − 3y) dydx
Giải: Giả sử, I = ∬ (2x − 3y) dxdy
I = ∫ [∫ (2x − 3y) dx] dy
I = ∫ [2x 2 / 2−3yx]
I = x 2 y-3xy 2 /2
Vấn đề thực hành
Thực hành thêm các câu hỏi dựa trên khái niệm này. Dưới đây là một số vấn đề mà bạn có thể giải quyết để hiểu khái niệm này một cách tốt hơn.
- Đánh giá ∫∫x 2 y 3 dx.dy.
- Tích phân ∫∫xe x dx.dy.