Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Tích phân không xác định là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Tích phân không xác định

Trong Giải tích, hai quá trình quan trọng là phân biệt và tích hợp. Chúng ta biết rằng phân biệt là tìm đạo hàm của một hàm , trong khi tích phân là quá trình nghịch đảo của phân biệt. Ở đây, chúng ta sẽ thảo luận về thành phần quan trọng của tích phân được gọi là “tích phân” ở đây.

Giả sử một hàm f khả vi trong một khoảng I, tức là đạo hàm f ‘của nó tồn tại tại mỗi điểm của I. Trong trường hợp đó, một câu hỏi đơn giản được đặt ra: Chúng ta có thể xác định hàm cho f’ tại mỗi điểm không? Các hàm có thể cung cấp chức năng như một đạo hàm được gọi là các hàm phản (hoặc nguyên hàm). Công thức cung cấp tất cả các đạo hàm này được gọi là tích phân bất định của hàm. Và một quá trình tìm kiếm các chất chống dẫn xuất như vậy được gọi là quá trình tích hợp.

Các tích phân thường được phân thành hai loại, cụ thể là:

  • Tích phân xác định
  • Không xác định, không thể thiếu

Ở đây, chúng ta hãy thảo luận về một trong những loại tích phân được gọi là “Tích phân không xác định” với định nghĩa và tính chất chi tiết.

Định nghĩa tích phân không xác định

Một tích phân không có bất kỳ giới hạn trên và dưới nào được gọi là một tích phân không xác định. 

Về mặt toán học, nếu F (x) là một phản đạo hàm bất kỳ của f (x) thì đạo hàm tổng quát nhất của f (x) được gọi là một tích phân không xác định và được ký hiệu,

∫f (x) dx = F (x) + C

Chúng tôi đề cập bên dưới các ký hiệu / thuật ngữ / cụm từ sau với ý nghĩa của chúng trong bảng để hiểu rõ hơn.

Ký hiệu / Điều khoản / Cụm từ  Ý nghĩa 
∫ f (x) dx  Tích phân của f đối với x 
f (x) trong ∫ f (x) dx  Tích hợp
x trong ∫ f (x) dx Biến số tích hợp
Tích phân của f Một hàm F sao cho F ′ (x) = f (x)
Hội nhập Quá trình tìm tích phân
Liên tục tích hợp  Bất kỳ số thực C nào, được coi là hàm hằng

Đạo hàm chống hoặc tích phân của các hàm không phải là duy nhất. Tồn tại vô số đạo hàm của mỗi hàm số nhất định, có thể nhận được bằng cách chọn C tùy ý từ tập các số thực. Vì lý do này, C thường được gọi là một hằng số tùy ý. C là tham số mà người ta nhận được các đạo hàm (hoặc tích phân) khác nhau của hàm đã cho.

Thuộc tính vô thời hạn

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số tính chất của tích phân bất định.

Tính chất 1: Quá trình phân hóa và tích hợp là nghịch đảo của nhau theo nghĩa của các kết quả sau:

Tích phân không xác định 1

Tích phân không xác định 2

trong đó C là hằng số bất kỳ.

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh tuyên bố này.

Chứng minh: Xét một hàm f sao cho phản đạo hàm của nó được cho bởi F, tức là

Tích phân không xác định 3

Sau đó,

Tích phân không xác định 4

Khi phân biệt cả hai bên đối với x, chúng ta có

Tích phân không xác định 5

Như chúng ta đã biết, đạo hàm của bất kỳ hàm hằng số nào đều bằng không. Vì vậy,

Tích phân không xác định 6

Đạo hàm của hàm số f theo x được cho là f ‘(x), do đó ta nhận được;

Tích phân không xác định 7

Vì thế, 

Tích phân không xác định 8

Do đó, đã chứng minh. 

Tính chất 2: Hai tích phân bất định có cùng đạo hàm dẫn đến cùng một họ đường cong, và do đó chúng tương đương. 

Chứng minh: Cho f và g là hai hàm sao cho

Tích phân không xác định 9

Hiện nay,

Tích phân không xác định 10

trong đó C là bất kỳ số thực nào.

Từ phương trình này, chúng ta có thể nói rằng họ các đường cong của [∫ f (x) dx + C 3 , C 3 ∈ R] và [∫ g (x) dx + C 2 , C  ∈ R] là như nhau . 

Do đó, chúng ta nói rằng, ∫ f (x) dx = ∫ g (x) dx

Tính chất 3: Tích phân của tổng hai hàm số bằng tổng tích phân của các hàm đã cho, tức là 

Tích phân không xác định 11

Bằng chứng: 

Từ tính chất 1 của tích phân, chúng ta có

Tích phân không xác định 12

Ngoài ra, chúng ta có thể viết;

Tích phân không xác định 13

Từ (1) và (2),

Tích phân không xác định 14

Do đó đã chứng minh.

Tính chất 4: Với bất kỳ giá trị thực nào của p,

Tích phân không xác định 15

Chứng minh: Từ tính chất 1, chúng ta có thể nói rằng 

Tích phân không xác định 16

Cũng thế,

Tích phân không xác định 17

Từ thuộc tính 2, chúng ta có thể nói rằng

Tích phân không xác định 18

Thuộc tính 5:

Đối với một số hữu hạn các hàm f 1 , f 2 …. f n và các số thực p 1 , p 2 … p n ,

∫ [p 1 f 1 (x) + p 2 f 2 (x)…. + P n f n (x)] dx = p 1 ∫f 1 (x) dx + p 2 ∫f 2 (x) dx + … .. + p n ∫f n (x) dx

Công thức tích phân không xác định

Danh sách các công thức tích phân không xác định là

  • ∫ 1 dx = x + C
  • ∫ a dx = ax + C
  • ∫ x n dx = ((x n + 1 ) / (n + 1)) + C; n ≠ 1
  • ∫ sin x dx = – cos x + C
  • ∫ cos x dx = sin x + C
  • ∫ giây 2 x dx = tan x + C
  • ∫ cosec 2 x dx = -cot x + C
  • ∫ giây x tan x dx = giây x + C
  • ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
  • ∫ (1 / x) dx = ln | x | + C
  • ∫ e x dx = e x  + C
  • ∫ a x  dx = (a x / ln a) + C; a> 0, a ≠ 1

Ví dụ về tích phân không xác định

Xem qua các ví dụ và giải pháp tích phân không xác định sau được đưa ra dưới đây:

Ví dụ 1:

Đánh giá bài toán tích phân không xác định đã cho: ∫6x 5 -18x 2 +7 dx

Giải pháp:

Được,

∫6x 5 -18x 2 +7 dx

Tích hợp hàm đã cho, nó trở thành:

∫6x 5 -18x 2 +7 dx = 6 (x 6 /6) – 18 (x 3 /3) + 7x + C

Lưu ý: Đừng quên đặt hằng số tích hợp “C”

Sau khi đơn giản hóa, chúng tôi nhận được giải pháp

Do đó, ∫6x 5 -18x 2 +7 dx = x 6 -6x 3 + 7x + C

Ví dụ 2: 

Đánh giá f (x), cho rằng f ‘(x) = 6x 8 -20x 4 + x 2 + 9

Giải pháp:

Được,

f ‘(x) = 6x 8 -20x 4 + x 2 + 9

Chúng ta biết rằng, quá trình nghịch đảo của sự khác biệt là một quá trình tích hợp.

Do đó, f (x) = ∫f ‘(x) dx = ∫ [6x 8 -20x 4 + x 2 + 9] dx

f (x) = (2/3) x 9 – 4x 5 + (1/3) x 3 + 9x + C

Tích phân không xác định so với Tích phân xác định

Một tích phân không xác định là một hàm thực hành lấy đạo hàm của một hàm khác. Nó có thể được biểu diễn một cách trực quan dưới dạng một ký hiệu tích phân, một hàm, và sau đó là một dx ở cuối. Các thể thiếu không xác định là một cách dễ dàng hơn để biểu thị nhận được nguyên hàm. Tích phân không xác định tương tự như tích phân xác định, nhưng cả hai không giống nhau. Hình dưới đây cho thấy sự khác biệt giữa tích phân xác định và tích phân không xác định.

Tích phân xác định và không xác định

Câu hỏi thường gặp – Câu hỏi thường gặp

Làm thế nào để bạn tìm thấy tích phân bất định?

Quá trình tìm tích phân bất định của một hàm còn được gọi là tích phân hay tích phân f (x). Điều này có thể được biểu diễn dưới dạng:
∫f (x) dx = F (x) + C, trong đó C là số thực bất kỳ.
Thông thường, chúng tôi sử dụng các công thức phù hợp để giúp lấy được hàm khử của hàm đã cho.
Kết quả của tích phân bất định là một hàm.

Một tích phân không xác định đại diện cho điều gì?

Tích phân không xác định đại diện cho một họ các hàm có đạo hàm là f.

Tích phân bất định và Đạo hàm có giống nhau không?

Tích phân không xác định tương tự như tích phân xác định, nhưng cả hai không giống nhau. Chúng ta có thể nhận được từ tích phân không xác định là một hàm, trong khi từ tích phân xác định là một số thực tế.

Các tích phân xác định có C không?

Không, chỉ những tích phân không xác định mới chứa một số thực C trong quá trình tích phân.

Các giới hạn của một tích phân không xác định là gì?

Không có giới hạn cho một tích phân không xác định.

Tích phân không xác định của 0 là gì?

Tích phân của 0 là C vì đạo hàm của C (hoặc bất kỳ hằng số nào) bằng không. Do đó, ∫0 dx = C.
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x