Cổng Thông Tin Đại Học, Cao Đẳng Lớn Nhất Việt Nam

Tính chất của hàm lượng giác ngược là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

KHOA Y DƯỢC HÀ NỘI

Thẳng tiến vào đại học chỉ với: Điểm lớp 12 Từ 6,5 Điểm thi từ 18 năm 2021

Có một vài tính chất của hàm lượng giác nghịch đảo rất quan trọng để không chỉ giải quyết vấn đề mà còn để hiểu sâu hơn về khái niệm này. Nhắc lại, các hàm lượng giác nghịch đảo còn được gọi là “Hàm Arc”. Đối với một giá trị đã cho của một hàm lượng giác; chúng tạo ra độ dài cung cần thiết để có được giá trị cụ thể đó. Phạm vi của một hàm ngược được định nghĩa là phạm vi các giá trị của hàm ngược có thể đạt được với miền xác định của hàm. Miền của một hàm được định nghĩa là tập hợp của mọi biến độc lập có thể có ở đó hàm tồn tại. Hàm lượng giác nghịch đảo được xác định trong một khoảng nhất định.

Xem xét miền và phạm vi của các hàm nghịch đảo, cần lưu ý các công thức sau:

  • sin (sin −1 x) = x, nếu -1 ≤ x ≤ 1
  • cos (cos −1 x) = x, nếu -1 ≤ x ≤ 1
  • tan (tan −1 x) = x, nếu -∞ ≤ x ≤∞
  • cot (cot −1 x) = x, nếu -∞≤ x ≤∞
  • sec (sec −1 x) = x, nếu -∞ ≤ x ≤ -1 hoặc 1 ≤ x ≤ ∞
  • cosec (cosec −1 x) = x, nếu -∞ ≤ x ≤ -1 hoặc 1 ≤ x ≤ ∞

Ngoài ra, các công thức sau đây được xác định cho các hàm lượng giác nghịch đảo.

  • sin −1 (sin y) = y, nếu -π / 2 ≤ y ≤ π / 2
  • cos −1 (cos y) = y, nếu 0 ≤ y ≤ π
  • tan −1 (tan y) = y, nếu -π / 2 <y <π / 2
  • cot −1 (cot y) = y nếu 0 <y <π
  • sec −1 (sec y) = y, nếu 0 ≤ y ≤ π, y ≠ π / 2
  • cosec −1 (cosec y) = y nếu -π / 2 ≤ y ≤ π / 2, y ≠ 0

Các tính chất quan trọng của hàm lượng giác nghịch đảo

Dưới đây là một số tính chất quan trọng liên quan đến các hàm lượng giác nghịch đảo:

Bộ thuộc tính 1:

  • Sin −1 (x) = cosec −1 (1 / x), x∈ [−1,1] – {0}
  • Cos −1 (x) = sec −1 (1 / x), x ∈ [−1,1] – {0}
  • Tan −1 (x) = cot −1 (1 / x), nếu x> 0  (hoặc)  cot −1 (1 / x) −π, nếu x <0
  • Cót −1 (x) = tan −1 (1 / x), nếu x> 0 (hoặc) tan −1 (1 / x) + π, nếu x <0

Bộ thuộc tính 2:

  • Sin −1 (−x) = −Sin −1 (x)
  • Tan −1 (−x) = −Tan −1 (x)
  • Cos −1 (−x) = π – Cos −1 (x)
  • Cosec −1 (−x) = – Cosec −1 (x)
  • Sec −1 (−x) = π – Sec −1 (x)
  • Cot −1 (−x) = π – Cot −1 (x)

Bằng chứng:

1. Sin −1 (−x) = −Sin −1 (x)

Cho sin −1 (−x) = y, tức là, −x = sin y

⇒ x = – sin y

Vì vậy,

x = sin (- y)

Hoặc là,

sin −1 (x) = −y = −sin −1 (−x)

Do đó, sin −1 (−x) = −sin −1 (x)

Tương tự, sử dụng cùng một khái niệm có thể thu được các kết quả sau:

  • cosec −1 (−x) = −cosec −1 x, | x | ≥1
  • tan −1 (−x) = −tan −1 x, xϵR

2. Cos −1 (−x) = π – Cos −1 (x)

Đặt cos −1 (−x) = y tức là −x = cos y

⇒ x = −cos y = cos (π – y)

Vì vậy,

cos −1 (x) = π – y

Hoặc là,

cos −1 (x) = π – cos −1 (−x)

Do đó, cos −1 (−x) = π – cos −1 (x)

Tương tự, sử dụng cùng một khái niệm có thể thu được các kết quả sau:

  • sec −1 (−x) = π – sec −1 x, | x | ≥1
  • cot −1 (−x) = π – cot −1 x, xϵR

Bộ thuộc tính 3:

  • Sin −1 (1 / x) = cosec −1 x, x≥1 hoặc x≤ − 1
  • Cos −1 (1 / x) = sec −1 x, x≥1 hoặc x≤ − 1
  • Tan −1 (1 / x) = −π + cot −1 (x)

Chứng minh: Sin −1 (1 / x) = cosec −1 x, x≥1 hoặc x≤ − 1

Cho cosec −1 x = y, tức là x = cosec y

⇒ (1 / x) = sin y

Do đó, sin −1 (1 / x) = y

Hoặc là,

sin −1 (1 / x) = cosec −1 x

Tương tự, sử dụng cùng một khái niệm, các kết quả khác có thể thu được.

Hình ảnh minh họa:

  • sin −1 (⅓) = cosec −1 (3)
  • cos −1 (¼) = giây −1 (4)
  • sin −1 (−¾) = cosec −1 (−4/3) = sin −1 (3/4)
  • tan −1 (−3) = cot −1 (−⅓) −π

Bộ thuộc tính 4:

  • Sin −1 (cos θ) = π / 2 – θ, nếu θ∈ [0, π]
  • Cos −1 (sin θ) = π / 2 – θ, nếu θ∈ [−π / 2, π / 2]
  • Tan −1 (cot θ) = π / 2 – θ, θ∈ [0, π]
  • Cot −1 (tan θ) = π / 2 – θ, θ∈ [−π / 2, π / 2]
  • Sec −1 (cosec θ) = π / 2 – θ, θ∈ [−π / 2, 0] ∪ [0, π / 2]
  • Cosec −1 (giây θ) = π / 2 – θ, θ∈ [0, π] – {π / 2}
  • Sin −1 (x) = cos −1 [√ (1 − x 2 )], 0≤x≤1

= −cos −1 [√ (1 − x 2 )], −1≤x <0

Hình ảnh minh họa:

1. Cho, cos −1 (−3/4) = π – sin −1 A. Tìm A.

Giải pháp:

Vẽ sơ đồ từ câu hỏi.

Tính chất của hàm lượng giác nghịch đảo- Câu hỏi 1

Vì thế,

cos −1 (−3/4) = π – sin −1 (√7 / 4)

Do đó, A = √7 / 4

2. cos −1 (¼) = sin −1 √ (1−1 / 16) = sin −1 (√15 / 4)

3. sin −1 (−½) = −cos −1 √ (1 – ¼) = −cos −1 (√3 / 2)

4. sin 2 (tan −1 (¾)) = sin 2 (sin −1 (⅗)) = (⅗) 2 = 9/25.

5. sin −1 (sin 2π / 3) = π / 3

6. cos −1 (cos 4π / 3) = 2π / 3

7. sin −1 (cos 33π / 10) = sin −1 cos (3π + 3π / 10) = sin −1 (insin (π / 2 – 3π / 10)) = – (π / 2 – 3π / 10) = −π / 5

Bộ thuộc tính 5:

  • Sin −1 x + Cos −1 x = π / 2
  • Tan −1 x + Cot −1 (x) = π / 2
  • Sec −1 x + Cosec −1 x = π / 2

Chứng minh: sin −1 (x) + cos −1 (x) = (π / 2), xϵ [−1,1]

Cho sin −1 (x) = y, tức là x = sin y = cos ((π / 2) – y)

⇒ cos −1 (x) = (π / 2) – y = (π / 2) – sin −1 (x)

Vì vậy,

sin −1 (x) + cos −1 (x) = (π / 2)

Tương tự, sử dụng cùng một khái niệm có thể thu được các kết quả sau:

  • tan −1 (x) + cot −1 (x) = (π / 2), xϵR
  • cosec −1 (x) + sec −1 (x) = (π / 2), | x | ≥1

Hình ảnh minh họa:

1. Sec −1 (4) + Cosec −1 (4) = π / 2

2. Tan −1 (3) + Cot −1 (3) = π / 2

Bộ thuộc tính 6:

(1) Nếu x, y> 0

Tan −1 x + Tan −1 y =⎧⎩⎨⎪⎪rám nắng– 1(y– y) xy1Số Pi+rám nắng– 1(y– y) xy1

(2) Nếu x, y <0

Tan −1 x + Tan −1 y =⎧⎩⎨⎪⎪rám nắng– 1(y– y) xy1– π+rám nắng– 1(y– y) xy1

(3) Tan −1 x + Tan −1 y =rám nắng– 1(– yy) xy =Số Pi+rám nắng– 1(– yy)0Y0 – π+rám nắng– 1(– yy)0Y0

(4) tan −1 (x) – tan −1 (y) = tan −1 [(x – y) / (1 + xy)], xy> −1

(5) 2tan −1 (x) = tan −1 [(2x) / (1 – x 2 )], | x | <1

Chứng minh: Tan −1 (x) + tan −1 (y) = tan −1 [(x + y) / (1 – xy)], xy <1

Cho tan −1 (x) = α và tan −1 (y) = β, tức là, x = tan (α) và y = tan (β)

⇒ tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β)

Vì vậy,

(α) + (β) = tan −1 [(x + y) / (1 – xy)]

Vì thế,

tan −1 (x) + tan −1 (y) = tan −1 [(x + y) / (1 – xy)]

Tương tự, sử dụng cùng một khái niệm có thể thu được các kết quả sau:

  • tan −1 (x) – tan −1 (y) = tan −1 [(x – y) / (1 + xy)], xy> −1
  • 2tan −1 (x) = tan −1 [(2x) / (1 – x 2 )], | x | <1

Hình ảnh minh họa:

1. Tan −1 (−½) + Tan −1 (−⅓) = Tan −1 [(−½ – ⅓) / (1− ⅙)]

= tan −1 (−1)

−π / 4

2. Tan −1 (−2) + Tan −1 (−3) = Tan −1 [(−2 + −3) / (1−6)]

= Tan −1 (−5 / −5) = Tan −1 1

= π / 4

3. Tan −1 (−3) + Tan −1 (−⅓) = – (Tan −1 B) + Tan −1 (⅓)

−π / 2

4. Tan −1 (5/3) – Tan −1 (¼) = Tan −1 [ (5/3 – ¼) / (1 + 5/12)]

= Tan −1 (17/17)

= Tan −1 1 = π / 4

5. Tan −1 2x + Tan −1 3x = π / 4

⇒ Tan −1 [(5x) / (1−6x 2 )] = π / 4

⇒ 5x / (1−6x 2 ) = 1

⇒ 6x 2 – 5x + 1 = 0

⇒ x = 1/6 hoặc −1

∴ x = 16 như, x = −1

6. Nếu tan −1 (4) + Tan −1 (5) = Cot −1 (λ). Tìm λ

Đây,

Tan −1 [9 / (1−20)] = Cot −1 λ

⇒ Tan −1 (-9/19) = Cot −1 (λ)

An −Tan −1 (9/19) = Cot −1 (λ)

⇒ −Cot −1 (19/9) = Cot −1 (λ)

Hoặc, λ = −19/9

Bộ thuộc tính 7:

  • sin −1 (x) + sin −1 (y) = sin −1 [x√ (1 – y 2 ) + y√ (1 – x 2 )]
  • cos −1 x + cos −1 y = cos −1 [xy − √ (1 − x 2 ) √ (1 − y 2 )]

Hình minh họa:

1. sin −1 (⅘) + sin −1 (7/25) = sin −1 (A). Tìm một.

Giải pháp:

= sin −1 (⅘ √ {1− (7/25) 2 } + √ {1− (⅘) 2 } 7/25)

= sin −1 (117/125)

2. Chứng minh rằng sin −1 (⅘) + sin (5/13) + sin −1 (16/65) = π / 2

Giải pháp:

sin −1 (63/65) + sin −1 (16/65)

= cos −1 (16/65) + sin −1 (16/65)

= π / 2

Thất giác

Bộ thuộc tính 8: Đồ thị tương ứng

  • sin −1 (sin x) = −π – π, nếu x∈ [−3π / 2, −π / 2]

= x, nếu x∈ [−π / 2, π / 2]

= π – x, nếu x∈ [π / 2, 3π / 2]

= −2π + x, nếu x∈ [3π / 2, 5π / 2] Và như vậy.

Tính chất của hàm lượng giác nghịch đảo- Góc sin

  • cos −1 (cos x) = 2π + x, nếu x∈ [−2π, −π]

= −x, ∈ [−π, 0]

= x, ∈ [0, π]

= 2π – x, ∈ [π, 2π]

= −2π + x, ∈ [2π, 3π]

Tính chất của hàm lượng giác nghịch đảo- Góc Cos tương ứng

  • tan −1 (tan x) = π + x, x∈ (−3π / 2, −π / 2)

= x, (−π / 2, π / 2)

= x – π, (π / 2, 3π / 2)

= x − 2π, (3π / 2, 5π / 2)

Tính chất của hàm lượng giác nghịch đảo- Góc Tan tương ứng

Hình minh họa:

1. sin −1 (sin 2π / 3) = π – 2π / 3 = π / 3

2. cos −1 (cos (13π / 6)) = π / 6

3. sin −1 sin (4) = π – 4

4. sin −1 sin (6) = 6−2π

5. sin −1 sin (12) = 12−4π

6. cos −1 (cos 3) = 3

7. cos −1 (cos 5) = 2π – 5

8. cos −1 (cos 6) = 2π – 6

9. tan −1 (tan 3) = 3 − π

Bộ thuộc tính 9:

1. 2không có– 1=không có– 1xx2—–√)

2. 2cos– 1=cos– 12x2– )

3. 2rám nắng– 1=không có– 1(x+x2)

4. cos– 1(x2+x2) =2rám nắng– 1x

5. 3không có– 1=không có– 1– 4x3)

6. 3cos– 1=cos– 14x3– )

7. 3rám nắng– 1=rám nắng– 1(x3– 3x2)

số 8. 2rám nắng– 1=rám nắng– 1(xx2)

Hình ảnh minh họa:

1. f (x) = không có– 1(x+x2) +2rám nắng– 1.

Nếu x> 1 tìm được cos (f (10))

Nhiều năm. f10 tôin– 1(20101) +2rám nắng– 110 ) =rám nắng– 1(2099) +2rám nắng– 110 ) π+rám nắng– 1(2099) ±rám nắng– 1(2099)

= π

2. Tìm rám nắng(cos– 1(45) +rám nắng– 1(23) ) tan(rám nắng– 1(34) +rám nắng– 1(23) )

=3/4+2/3– (34×2/3) =176

Chứng minh: 2tan −1 x = sin −1 [(2x) / (1 + x 2 )], | x | <1

Cho, tan −1 x = y tức là, x = tan y

⇒ sin −1 [(2x) / (1 + x 2 )] = sin −1 [(2tany) / (1 + tan 2 y)]

Vì vậy,

-Sin -1 [(2tany) / (1 + tan 2 y)] = sin -1 (sin2y) = 2y = 2tan -1 x

Tương tự, sử dụng cùng một khái niệm có thể kết luận các kết quả sau:

  • 2tan −1 x = cos −1 [(1 – x 2 ) / (1 + x 2 ), x≥0
  • 2tan −1 x = tan −1 [(2x) / (1 – x 2 ), −1 <x <1
0 0 votes
Article Rating
Theo dõi
Thông báo của
guest
0 Comments
Inline Feedbacks
View all comments

Khoa Y Dược Hà Nội tuyển sinh chính quy

Bài viết mới nhất

Thi trắc nghiệm online
https://tintuctuyensinh.vn/wp-content/uploads/2021/11/Autumn-Sale-Facebook-Event-Cover-Template-1.jpg
0
Would love your thoughts, please comment.x
()
x