Ước chung lớn nhất là gì? Xem xong 5 phút hiểu luôn.

Nếu a và b là hai số thì ước chung lớn nhất của cả hai số đó được ký hiệu là gcd (a, b). Để tìm gcd của các số, chúng ta cần liệt kê tất cả các thừa số của các số và tìm thừa số chung lớn nhất.

Giả sử, 4, 8 và 16 là ba số. Khi đó các thừa số của 4, 8 và 16 là:

4 → 1,2,4

8 → 1,2,4,8

16 → 1,2,4,8,16

Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng 4 là thừa số chung cao nhất trong cả ba số.

Cách tìm ước số chung lớn nhất

Trước khi tiếp tục tìm nhân tử chung lớn nhất của các số, chúng ta hãy hiểu nhân tử và nhân tử chung là gì?

Yếu tố là gì?

Các thừa số của một số chia đều cho số ban đầu. Ví dụ, nếu 8 là thừa số của 64, thì 8 có thể chia 64 thành 8 phần bằng nhau.

Yếu tố chung là gì?

Nếu thừa số của một số là thừa số của một số khác, thì nó được cho là thừa số chung của hai số đó. Ví dụ, 2 là một thừa số của 4 và 8, do đó 2 là một nhân tố chung.

GCD

GCD là nhân tử chung lớn nhất của hai hoặc nhiều số. Một yếu tố cao nhất trong số các con số.

Phương pháp tìm GCD

Có một số phương pháp để tìm ước chung lớn nhất của hai số đã cho.

1. Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố
2. Phương pháp chia dài
3. Thuật toán chia Euclid

Phương pháp phân tích thừa số nguyên tố

Mọi số tổng hợp, tức là một số có nhiều hơn một thừa số đều có thể được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố.

Trong phương pháp thừa số nguyên tố, mỗi số đã cho được viết dưới dạng tích của các số nguyên tố và sau đó tìm tích lũy thừa nhỏ nhất của mỗi thừa số nguyên tố chung.

Phương pháp này chỉ áp dụng cho các số dương, i, e. Số tự nhiên.

Ví dụ: Tìm thừa số chung lớn nhất của 24, 30 và 36.

Lời giải: Các thừa số nguyên tố của 24 là 2 ³ × 3

Các thừa số nguyên tố của 30 = 2 × 3 × 5

Các thừa số nguyên tố của 36 = 2² x 3²

Từ thừa số, chúng ta có thể thấy, chỉ có 2 x 3 là thừa số nguyên tố chung.

Do đó, GCD (24, 30, 36) = 2 x 3 = 6

Phương pháp chia dài

Trong phương pháp này, số lớn nhất trong số các số đã cho sẽ được chia cho số lớn thứ hai và một lần nữa số lớn thứ hai sẽ được chia cho phần còn lại của hoạt động trước đó, quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi phần còn lại bằng không. Ước số, khi phần dư bằng 0, được gọi là ước số chung lớn nhất của các số đã cho. Tìm hiểu chi tiết phương pháp phân chia cho HCF tại đây.

Thuật toán chia Euclid

Phương pháp này chỉ được nêu cho các số nguyên dương.

Tìm các bước dưới đây để nhận HCF của hai số nguyên dương a và b. Đây a> b.

Bước 1: Áp dụng bổ đề chia Euclid cho a và b ta được hai số nguyên q và r sao cho a = bq + r; 0 r <b.

Bước 2: Nếu r = 0 thì b là HCF của a và b. Nếu r ≠ 0, thì áp dụng bổ đề chia Euclid cho b và r.

Bước 3: Tiếp tục quá trình trên cho đến khi phần dư bằng không.

Bước 4: Khi số dư bằng 0, số chia ở giai đoạn này là HCF của các số đã cho.

Công thức GCD

Nếu a và b là bất kỳ số nào thì ước chung lớn nhất của a và b có thể được cho bởi:

GCD (a, b) = [| ab |] / [lcm (a, b)]

Ứng dụng của ước số chung lớn nhất

Khái niệm ước chung lớn nhất hoặc nhân tử chung cao nhất được sử dụng trong nhiều sự cố thực tế như dưới đây.

Một người bán hàng có 420 quả bóng và 130 con dơi cần đóng gói trong một ngày. Cô ấy muốn gói chúng theo cách mà mỗi bộ có cùng một số trong một hộp và chúng chiếm ít diện tích nhất của hộp. Số lượng có thể được đặt trong mỗi bộ cho mục đích đóng gói này là bao nhiêu?

Trong bài toán trên, ước số chung lớn nhất của 420 và 130 sẽ là số cần thiết.

Các ứng dụng khác như sắp xếp học sinh thành các hàng và cột với số lượng bằng nhau, chia nhóm người thành các phần nhỏ hơn, v.v.,

Các ví dụ đã giải quyết

Ví dụ 1:

Tìm ước số chung lớn nhất (hoặc HCF) của 128 và 96.

Giải pháp:

Theo phương pháp thừa số nguyên tố,

128 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3

HCF (128, 96) = 2 x 2 x 2 x 2 x2 = 32

(HOẶC LÀ)

Theo phương pháp phân chia,

Do đó, 32 là HCF của 128 và 96.

(HOẶC LÀ)

Theo thuật toán phân chia của Euclid,

128 = 96 x 1 + 32

96 = 32 x 3 + 0

Do đó, HCF của 128 và 96 là 32.

Ví dụ 2:

Hai thanh dài 22 m và 26 m. Các thanh phải được cắt thành các đoạn có chiều dài bằng nhau. Tìm chiều dài lớn nhất của mỗi mảnh.

Giải pháp:

HCF hoặc GCD là chiều dài yêu cầu của mỗi mảnh.

22 = 2 x 11

26 = 2 x 13

HCF hoặc ước số chung lớn nhất = 2

Do đó, chiều dài tối đa yêu cầu của mỗi mảnh là 2 m.

Nhân tử chung lớn nhất của 3 số

Chúng ta có thể tìm thừa số / ước chung lớn nhất của 3 ba số bằng phương pháp phân tích thừa số nguyên tố như hình dưới đây.

Ví dụ 3:

Tìm nhân tử chung lớn nhất của 24, 148 và 36.

Giải pháp:

Phân tích thừa số nguyên tố của các số đã cho là

24 = 2 × 2 × 2 × 3

148 = 2 × 2 × 37

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Hệ số chung lớn nhất = 2 × 2 = 4